Теорема Виета - ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цели: доказать прямую и обратную теоремы Виета, использовать их при решении задач.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Произведение двух последовательных натуральных нечетных чисел равно 575. Найти эти числа.

2. Найти стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 17 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 25 см.

Вариант 2

1. Произведение двух последовательных натуральных четных чисел равно 624. Найти эти числа.

2. Найти катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 7 см меньше другого, а гипотенуза равна 17 см.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

1. Подход к формулировке прямой теоремы Виета

Сначала рассмотрим несколько приведенных квадратных уравнений. Найдем их корни, а также сумму и произведение этих корней.

Какие закономерности вы видите между суммой и произведением корней уравнения и его коэффициентами? Попробуйте их сформулировать.

Видно, что для каждого из приведенных уравнений сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Такое утверждение называется прямой теоремой Виета и выполняется для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни. Докажем эту теорему.

2. Доказательство прямой теоремы Виета

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 (где старший коэффициент равен 1, второй коэффициент обозначен буквой р, свободный член — буквой q). Найдем его дискриминант D= р2 – 4q. Пусть D ≥ 0, тогда уравнение имеет два различных (D > 0) или равных (D = 0) корня: Найдем сумму и произведение этих корней: и Итак, доказано, что х1 + х2 = -р и x1x2 = q.

Заметим, что и ранее и сейчас в случае, когда дискриминант квадратного уравнения равнялся нулю, мы говорили, что уравнение имеет два равных (или одинаковых) корня. Тогда теорема Виета выполняется. Если считать, что в этом случае уравнение имеет один корень, то непонятно, как использовать теорему Виета (что в этом случае считать корнем х2).

Теорему Виета легко обобщить на произвольное квадратное уравнение ax2 + bх + с = 0. Пусть это уравнение имеет корни х1 и х2. Разделим все части уравнения на старший коэффициент а и получим равносильное приведенное квадратное уравнение Для него (и для исходного уравнения) по доказанной теореме Виета выполняются соотношения:

3. Обратная теорема Виета

Если числа m и n таковы, что их сумма равна числу -р, а произведение равно числу q, то числа тип являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0. Докажем это утверждение.

По условию m + n = -р, а р = -(m + n) и mn = q. Подставим величины р и q в уравнение x2 + px + q = 0 и получим уравнение х2 - (m + n)х + mn = 0. Проверим, что число m является корнем этого уравнения. Подставим вместо х число m и получим: (верное равенство). Следовательно, число т является корнем уравнения x2 + px + q = 0. Аналогично доказывается, что число п также является корнем этого уравнения. Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Виета.

Пример 1

Пусть уравнение 3х2 - 7х + 1 = 0 имеет корни х1 и х2.

Найти:

а) сумму корней х1 + х2;

б) произведение корней х1х2;

в) сумму обратных величин корней

г) сумму квадратов корней х12 + х22;

д) сумму кубов корней х13 + х23;

е) модуль разности корней |х1 - х2|.

Найдем дискриминант данного уравнения D = (-7)2 – 4 · 3 · 1 = 37. Так как D > 0, то уравнение имеет два различных корня. Так как дискриминант не является квадратом натурального числа, то корни уравнения х1 и х2 — иррациональные числа. Поэтому прямое и непосредственное вычисление пунктов а-е затруднительно. Следовательно, для вычислений используем прямую теорему Виета.

Разделим все члены данного уравнения на старший коэффициент 3 и получим равносильное уравнение Тогда по теореме Виета сразу получаем:

Для вычисления остальных пунктов надо выразить требуемые комбинации корней через их сумму и произведение.

в) Приведем дроби к общему знаменателю

г) Используем формулу квадрата суммы:

д) Применим формулу суммы кубов: Подставим в это выражение значения величин х1 + х2 и х1х2. Получаем:

е) Используем свойство арифметического корня и формулу квадрата разности: Подставим в это выражение значения величин х12 + х22 и х1х2 и получим:

Пример 2

Решим уравнение 197x2 - 2197х + 2000 = 0.

Очевидно, что вычисление дискриминанта этого уравнения D = (-2197)2 – 4 · 197 · 2000 достаточно трудоемко. Поэтому проще решить это уравнение подбором. Очевидно, что один корень уравнения х1 = 1. При подстановке этого значения в уравнение получаем 197 · 12 - 2197 · 1 + 2000 = 0 (верное равенство).

По прямой теореме Виета имеем откуда корень Используя обратную теорему Виета, проверим найденные корни. Сумма корней и произведение корней (это соотношение мы уже использовали). Поэтому числа х1 и х2 являются корнями уравнения

Умножим все члены на число 197 и получим равносильное уравнение 197x2 – 2197x + 2000 = 0. Таким образом, на основании обратной теоремы Виета мы показали, что числа х1 = 1 и являются корнями данного уравнения 197x2 - 2197х + 2000 = 0.

Пример 3

Напишем квадратное уравнение, корни которого х1 = -1/3 и х2 = 1/5.

Найдем сумму и произведение данных корней: и Тогда по обратной теореме Виета числа х1 и х2 являются корнями уравнения Умножим все члены на число 15 и получим равносильное уравнение 15х2 + 2х - 1 = 0, которое имеет заданные корни х1 и х2.

Пример 4

Не решая уравнения 7х2 + 18х + 3 = 0, определим знаки его корней.

Дискриминант этого уравнения D = 182 - 4 · 7 · 3 = 240. Так как D > 0, то данное уравнение имеет два различных корня. Определим знаки этих корней. Используя прямую теорему Виета, имеем: Так как х1х2 > 0, то числа х1 и х2 имеют одинаковые знаки (или оба положительные, или оба отрицательные). Так как при этом x1 + х2 < 0, то корни x1 и х2 отрицательные.

Разумеется, использование прямой и обратной теорем Виета позволяет решать и более сложные задачи.

Пример 5

Уравнение 7х2 + 14х + 3 = 0 имеет корни х1 и х2. Напишем уравнение, которое имеет корни 2х1 и 2х2.

Найдем дискриминант данного уравнения D = 142 – 4 · 7 · 3 = 112. Так как D > 0, то уравнение имеет различные корни х1 и х2. Сами корни х1 и х2 находить не будем, но найдем по прямой теореме Виета сумму и произведение этих корней:

В уравнении, которое надо написать, будем обозначать неизвестную буквой у. По условию корни этого уравнения удовлетворяют соотношениям у1 = 2х, и у2 = 2х2. Найдем сумму и произведение этих корней: и Тогда по обратной теореме Виета числа y1 и у2 являются корнями уравнения у2 + 4у + 12/7 = 0. Умножим все члены на число 7 и получим равносильное уравнение 7y2 + 28у + 12 = 0. Оно удовлетворяет условиям задачи.

Сравним данное уравнение 7х2 + 14х + 3 = 0 с корнями х1 и х2 и полученное уравнение 7у2 + 28у + 12 = 0 с корнями 2х1 и 2х2. Видно, что старшие коэффициенты в уравнениях одинаковы. Второй коэффициент полученного уравнения в 2 раза больше, чем у данного. Свободный член полученного уравнения в 22 = 4 раза больше, чем у данного.

Пример 6

Решите уравнение х2 - 4х + a = 0, если его корни х1 и х2 связаны равенством 2х1 + х2 = 3. Найдите значение параметра а.

Сначала найдем корни данного уравнения. Для этого используем прямую теорему Виета х1 + х2 = 4 и данное равенство 2х1 + х2 = 3. Решим систему линейных уравнений методом сложения. Вычтем из первого уравнения второе: 2х1 + х2 – х1 - х2 = 3 - 4 , откуда х1 = -1. Из второго уравнения находим х2 = 4 – х1 = 4 - (-1) = 5.

Теперь определим значение параметра а. Для этого еще раз используем прямую теорему Виета. Получаем а = x1x2 = -1 · 5 = -5. Итак, х1 = -1 и х2 = 5, а = -5.

Пример 7

При каком значении параметра а сумма корней уравнения имеет наименьшую величину? Найдите эту величину.

Найдем дискриминант данного уравнения Очевидно, что при любых значениях а дискриминант положительный. Поэтому уравнение имеет два различных корня х1 и х2. По прямой теореме Виета сумма этих корней х1 + х2 = а2 - 6а. Преобразуем это выражение, выделив квадрат двучлена: Видно, что сумма корней состоит из неотрицательного слагаемого (а - 3)2 и отрицательного числа -9. Поэтому она будет наименьшей, если слагаемое (a – 3)2 самое маленькое, т. е. (а - 3)2 = 0, откуда а = 3. Итак, при а = 3 сумма корней данного уравнения наименьшая и равна -9.

IV. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и докажите прямую теорему Виета для уравнения х2 + pх + q = 0.

2. Сформулируйте и докажите прямую теорему Виета для уравнения ах2 + bх + с = 0.

3. Сформулируйте и докажите обратную теорему Виета.

V. Задание на уроке

№ 573 (а, в, д); 574 (а, б); 576 (а); 578; 581; 583; 584 (а); 585 (а, в).

VI. Задание на дом

№ 573 (б, г, ж); 575 (а, д); 576 (в); 579; 580; 582; 584 (б); 586 (а, г).

VII. Творческие задания

1. Напишите квадратное уравнение, корни которого равны:

Ответы: а) 4х2 - 4х + 1 = 0; б) 9х2 + 6х + 1 = 0; в) 5х2 - 9х - 2 = 0; г) 4х2 + 11х - 3 = 0; д) 6х2 – х - 1 = 0; е) 10х2 + 3х - 1 = 0.

2. Квадратное уравнение 3х2 - 5х + 1 = 0 имеет корни х1 и х2. Напишите квадратное уравнение, корни которого равны:

Ответы: а) 3y2 + 5у + 1 = 0; б) у2 - 5у + 3 = 0; в) 3у2 - 11у + 9 = 0; г) 3у2 + 7у + 3 = 0; д) у2 - 5у + 3 = 0; е) y2 – 10y + 12 = 0; ж) 9y2 - 18у + 5 = 0; з) 9у2 - 45у + 50 = 0.

3. Пусть корни квадратного уравнения 6х2 - 5х - 2 = 0 равны х1 и х2. Не решая уравнения, найдите:

Ответы:

4. Корни квадратного уравнения aх2 + bх + с = 0 равны х1 и х2. Найдите:

Ответы:

5. Корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 равны х1 и х2. Напишите квадратное уравнение, корни которого равны:

Ответы: а) аy2 – bу + с = 0; б) ay2 + 3bу + 9с = 0; в) ау2 + (b - 2а)у + (с – b + а) = 0; г) су2 + bу + а = 0.

6. Найдите корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, если:

а) а + b + с = 0; б) 4a + 2b + с = 0; в) а - b + с = 0; г) 4а – 2b + с = 0.

Ответы:

7а). При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения х2 + (2 - а)х – а - 3 = 0 наименьшая? Найдите ее.

7б). При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения х2 + (а - 1)x + а2 - 1,5 = 0 наибольшая? Найдите ее.

Ответы: а) а = 1 и х12 + х22 = 9; б) а = -1 и х12 + х22 = 5.

VIII. Подведение итогов урока