Зачетная работа по теме «Рациональные дроби и их свойства» - ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ - РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Цель: проверка знаний учащихся по вариантам одинаковой сложности.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Характеристика зачетной работы

По сравнению с контрольной работой в зачетной увеличено количество заданий. Соответственно, у учащихся возрастает возможность выбора задач. Все задания разбиты на три блока А, В и С. Самые простые задачи находятся в части А, более сложные — в части В, еще сложнее — в части С. Каждая задача из А оценивается в 1 балл, из В — в 2 балла, из С — в 3 балла. Поэтому за правильное решение всех задач блока А можно получить 7 баллов, блока В — 8 баллов и блока С — 9 баллов (всего 24 балла). Оценка «3» ставится за 6 баллов, оценка «4» —за 10 баллов, оценка «5» —за 14 баллов.

Так как эта работа является зачетной, то в нее не включены принципиально новые задачи. Поэтому разбор заданий работы можно и не проводить (решения задач могут быть вывешены на стенде). Для стендового размещения разбор заданий приводится.

III. Задания зачетной работы

ЗР-.

А

1. Найти область допустимых значений переменной в выражении и вычислить значение А.

2. Упростите выражение

3. Докажите, что значение выражения не зависит от переменной х.

4. Упростите выражение

5. Найти целочисленные решения уравнения (x – 1)(y + 3) = 7.

6. Найти область определения функции и построить ее график.

7. Построить график функции

В

8. Упростите выражение

9. Найти область допустимых значений переменной в выражении и определить, при каком значении переменной A = 0.

10. При каком целом значении n дробь будет целым числом?

11. Постройте график функции

12. При каких значениях а и b равенство является тождеством?

13. Найти целочисленные решения уравнения х2 + 2ху = 3х + 6у + 2.

14. Постройте график функции

IV. Разбор заданий зачетной работы

1. Дроби, входящие в выражение А, имеют смысл, если их знаменатели не равны нулю. Из условий х - 1 ≠ 0 и х – 3 ≠ 0 находим х ≠ 1 и х ≠ 3. Поэтому область допустимых значений переменной х: любые х, кроме х = 1 и х = 3. Упростим выражение А. Для этого учтем, что числители дробей являются квадратами разности, и сократим дроби. Получаем:

Ответ: любые х, кроме х = 1 и х = 2; 2.

2. Дроби в скобке приведем к общему знаменателю и учтем формулу квадрата суммы. Имеем:

Ответ: 1/b.

3. Учтем, что слагаемые в числителе и знаменателе имеют одинаковые знаменатели. Поэтому по основному свойству дроби умножим числитель и знаменатель на х2 - х = х(х - 1). Получаем:

Видно, что значение данного выражения равно 4 и не зависит от переменной х.

Ответ: доказано.

4. Используем правила действий с дробями и упростим данное выражение. Имеем:

Ответ: a - 1.

5. По условию решения x и у данного уравнения являются целыми числами. Поэтому числа х - 1 и у + 3 также целые. Так как левая часть уравнения (х – 1)(у + 3) = 7 равна произведению двух целых чисел, то эти числа х - 1 и у + 3 являются делителями числа 7, стоящего в правой части. Поэтому надо рассмотреть четыре случая.

а) решение этой системы х = 8 и у = -2;

б) решение этой системы х = 2 и у = 4;

в) решение этой системы х = -6 и у = -4;

г) решение этой системы х = 0 и у = -10.

Ответ: (8; -2); (2; 4); (-6; -4); (0; -10).

6. Преобразуем данную функцию используя формулу разности квадратов. Получаем: Область определения этой функции — любые х, кроме х = 0.

Функция у = 2/x — обратная пропорциональность. Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Ответ: см. график.

7. Легко проверить, что функция является четной. Поэтому график функции симметричен относительно оси ординат. При х ≥ 0 по определению |х| = х и функция имеет вид . Построим этот график при х ≥ 0. В этом случае знаменатель х + 2 с увеличением х возрастает. Поэтому дробь при этом убывает. При больших значениях x значение у = 0. Следовательно, прямая у = 0 — горизонтальная асимптота графика функции. При х = 0 значение y = 1/2. Построим эту часть 1 графика и отразим ее симметрично относительно оси ординат.

Ответ: см. график.

8. Используем правила действий с дробями и формулы сокращенного умножения. Упростим данное выражение:

Ответ: -1/3.

9. В выражение входят дроби со знаменателями х + 3 и х - 2. Эти знаменатели не должны равняться нулю. Из этого условия находим х ≠ -3 и х ≠ 2. Упростим данное выражение:

Полученная дробь имеет смысл при дополнительном условии х - 5 ≠ 0, откуда х ≠ 5. Итак, область допустимых значений переменной — любые х, кроме х = -3, х = 2 и х = 5.

Выражение А = 0, если числитель дроби 2(x + 1)(x - 2) = 0, а ее знаменатель при этом не равен нулю. Так как х = 2 не входит в область допустимых значений, то приведенное равенство выполняется только при х + 1 = 0, откуда х = -1.

Ответ: любые х, кроме х = -3, х = 2 и х = 5; х = -1.

10. Используя правила действий с дробями, в дроби выделим целую и дробную части: Так как n — целое число, то для того чтобы данная дробь была целым числом, требуется, чтобы дробь также была бы целым числом. Это возможно, если знаменатель дроби 2n - 1 будет делителем числителя 3. Поэтому надо рассмотреть четыре случая.

а) если 2n - 1 = 3 (т. е. n = 2), то дробь

б) если 2n - 1 = -3 (т. е. n = -1), то дробь

в) если 2n - 1 = 1 (т. е. n = 1), то дробь

г) если 2n - 1 = -1 (т. е. n = 0), то дробь

Ответ: 2; -1; 1; 0.

11. Учтем, что функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат. При х ≥ 0 |х| = х и функция имеет вид .

Построим график этой функции для х ≥ 0. График имеет вертикальную асимптоту х = 1 и горизонтальную асимптоту у = 1. График пересекает ось абсцисс в точке х = 2 и ось ординат в точке у = 2. Учитывая эти характеристики, построим график функции в области х ≥ 0. Он состоит из ветви гиперболы 1 и части ветви 2. Построенный график симметрично отразим относительно оси ординат.

Ответ: см. график.

12. В левой части равенства сложим дроби, приведя их к общему знаменателю: .

При этом в знаменателе дроби были умножены многочлены х + 5 и x2 – 4x + 4. В числителе дроби многочлен записан в стандартном виде (т. е. в порядке убывания степеней х). Сравним полученную дробь и дробь стоящую в правой части. Эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Числители будут одинаковыми, если при одинаковых степенях х будут равные коэффициенты. Поэтому получаем Из первого уравнения имеем а = 1, тогда из второго уравнения b = 4, а = 4. Легко проверить, что значения а = 1 и b = 4 являются решением и третьего уравнения.

Ответ: а = 1 и b = 4.

13. Данное уравнение х2 + 2ху = 3х + 6у + 2 запишем в виде (х2 + 2xу) - (3х + 6у) = 8 и разложим его левую часть на множители: х(х + 2у) - 3(х + 2у) = 2 или (х + 2у)(х - 3) = 2. Так как по условию х и у целые числа, то левая часть уравнения разложена на произведение целых чисел х + 2у и х - 3, которые должны быть делителями правой части (числа 2). Надо рассмотреть четыре случая.

а) Решение этой системы х = 4 и у = -1 является целочисленным.

б) Решение этой системы х = 5 и у = -2 также является целочисленным.

в) Решение этой системы x = 2 и у = -2 является целочисленным.

г) Решение этой системы х = 1 и у = -1 опять является целочисленным.

Итак, данное уравнение имеет четыре целочисленных решения.

Ответ: (4; -1); (5; -2); (2; -2); (1; -1).

14. Для построения графика функции надо раскрыть знак модуля, рассмотрев два случая. Если х ≥ 0, то |х| = х и функция имеет вид Эта функция пересекает ось абсцисс в точке х = 3, ось ординат – в точке у = 3. Вертикальная асимптота х = 1, горизонтальная асимптота у = 1. Построим этот график в области х ≥ 0. График состоит из ветви 1 гиперболы и части ветви 2.

Если х < 0, то |х| = -х и функция имеет вид или График в области х < 0 не пересекает ось абсцисс (и, естественно, ось ординат). Вертикальная асимптота х = -1, горизонтальная асимптота у = -1. В области х < 0 построим график этой функции. График состоит из части ветви 3 гиперболы и ветви 4.

Ответ: см. график.