рассмотреть признак постоянства функции; основное свойство первообразных и геометрический смысл его - ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНОЙ - ПЕРВООБРАЗНАЯ - 1-е полугодие

Цели: рассмотреть признак постоянства функции; основное свойство первообразных и геометрический смысл его.

Ход урока

I. Итоги и анализ самостоятельной работы. Тем, кто не справился с заданием, выдается карточка на дом (содержание карточки приводится в конце урока).

II. Объяснение нового материала лекционным методом

1. Пусть в интервале времени (t1; t2) тело находится в состоянии покоя. Ясно, что его скорость в любой момент времени (из этого интервала) равна нулю. Исходя из механического смысла производной, это можно доказать так: координата тела x(t) постоянна, поэтому скорость x'(t) равна нулю.

2. Пусть теперь известно, что скорость тела в любой момент времени от t1 до t2 равна нулю. Тогда, конечно, тело находится в состоянии покоя» то есть его координата постоянна.

Т. е. если производная х'(t) функции x(t) на промежутке (t1; t2) равна нулю, то x(t) постоянна.

3. Доказательство признака постоянства функции.

4. Доказательство основного свойства первообразных.

5. Геометрический смысл основного свойства первообразных.

III. Закрепление изученного материала,

1. На рисунке изображены графики функций. Постройте примерный график функции, для которой данная функция является первообразной.

Рис. 1

Ответы: в), б) f(х) = 2х; а) (х) = cosx.

2. На рисунках изображены графики функций. Постройте примерный график одной из первообразных для каждой из этих функций.

Рис. 2

Ответы:

3. Может ли первообразная для периодической функции быть непериодической функцией? Ответ: Может. Например, f(х) = a, aR - периодическая функция, F(x) = ах + С - непериодическая.

4. Является ли чётной функцией первообразная для нечётной функции, непрерывной на [-а; а]?

Ответ: Отсюда F(x) = F(-x). Первообразная нечётной функции является чётной функцией.

III. Итоги урока

IV. Домашнее задание: п. 27; рассмотреть таблицу первообразных, выучить её; № 335, № 336.

Карточка № 1

Определение. Функция F(x) называется первообразной на заданном промежутке для функции f(х), если для всех х из этого промежутка F’(x) = f(x).

Примеры.

1. Функция - одна из первообразных функции f(х) = х3 для

2. Функция имеет ту же производную х3, поэтому также является одной из первообразных для функции х3 для х(-∞;∞).

3. Функция F(x) = х2 - 3 - одна из первообразных для функции f(х) = 2х для для любого х(-∞;∞).

4. Функция - одна из первообразных функции на промежутке (0;∞), т. к. для любого х(0;∞).

Вопросы для самоконтроля

1. Что означает высказывание: «Функция x3 + 7 есть одна из первообразных функции 3х2 для хR»?

2. Укажите какие-либо функции, отличные от функции х3 и являющиеся первообразными для функции 3х2.

3. Сформулируйте определение первообразной.

Выполните самостоятельно

Исходя из определения первообразной, докажите, что функция F(x) - одна из первообразных функции f(х) на указанном промежутке, если