Зачетная работа по теме «Тригонометрические уравнения» - Тригонометрические уравнения - 1-е полугодие

Цель: проверить знания учащихся по вариантам одинаковой сложности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Характеристика зачетной работы

III. Варианты зачетной работ.

Вариант 1

А

1. Вычислите

2. Решите неравенство

3. Найдите решения уравнения на промежутке [0; 2π].

4. Найдите область определения и область значений функции у = arcsin|x|.

5. Решите уравнение:

6. Постройте график функции у = arccos х + arccos(-x).

.

7. Решите уравнение

8. Найдите область определения и область значений функции

9. Решите уравнение

10. Решите неравенство

С

11. Решите уравнение:

12. Постройте график функции

Вариант .

А

1. Вычислите

2. Решите неравенство

3. Найдите решения уравнения на промежутке [0; 2π].

4. Найдите область определения и область значений функции у = arccos|x|.

5. Решите уравнение:

6. Постройте график функции у = arcctg x + arcctg(-x).

В

7. Решите уравнение

8. Найдите область определения и область значений функции

9. Решите уравнение

10. Решите неравенство 2 cos2 x + cos х ≤ 0.

С

11. Решите уравнение:

12. Постройте график функции

IV. Ответы и решени.

Вариант 1

11, а. Используем равенство sin2 x + cos2 х = 1 и приведем уравнение к однородному тригонометрическому уравнению второй степени или Разделим все члены уравнения на cos2 x и получим: tg2 x + 5tg х + 4 = 0. Введем новую переменную z = tg x и придем к квадратному уравнению z2 + 5z + 4 = 0, корни которого z1 = -1 и z2 = -4. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие тригонометрические уравнения tg x = -1 (решения ) и tg х = -4 (решения ).

Ответ:

11, б. Запишем данное уравнение в виде Учтем, что sin х ≤ 0, и возведем обе части уравнения в квадрат: или Введем новую переменную z = cos х и получим квадратное уравнение корни которого (не подходит, так как z ≤ 1) и Вернемся к старой неизвестной и получим систему Решения этой системы

Ответ:

12. Построим сначала аргумент данной функции у(х).

Функция z(x) четная, и ее график симметричен относительно оси ординат. При x = 0 значение при х → ∞ значения z → 1 (а). Учтем, что После этого легко построить график данной функции (б).

Ответ: график построен.

Вариант 2

11, а. Используем равенство sin2 x + cos2 = 1 и приведем уравнение к однородному тригонометрическому уравнению второй степени или Разделим все члены уравнения на cos2 x и получим: tg2 x - 3tg х + 2 = 0. Введем новую переменную z = tg х и придем к квадратному уравнению z2 - 3z + 2 = 0, корни которого z1 = 1 и z2 = 2. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие тригонометрические уравнения tg х = 1 (решения ) и tg x = 2 (решения ).

Ответ:

11, б. Для уравнения очевидно, что cos х ≥ 0. Возведем обе части уравнения в квадрат: Запишем его в виде или Введем новую переменную z = sin х и получим квадратное уравнение корни которого (не подходит, так как z ≤ 1) и Вернемся к старой переменной и получим систему Решения этой системы

Ответ:

12. Построим сначала аргумент данной функции у(х). Функция z(x) четная, и ее график симметричен относительно оси ординат. При х = 0 значение при х → ∞ значения z → 1 (a). Учтем, что и После этого легко построить график данной функции (б).

Ответ: график построен.