Арифметическая прогрессия - Прогрессии

Цель: рассмотреть частный вид последовательности - арифметическую прогрессию.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Определение возрастающей последовательности.

2. Последовательность (а_n) задана формулой Найдите a₁, a₅, a₁₀.

3. Последовательность (а_n) задана формулой где а₁ = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности.

Вариант 2

1. Определение убывающей последовательности.

2. Последовательность (а_n) задана формулой Найдите a₁, a₅, a₁₀.

3. Последовательность (а_n) задана формулой где а₁ = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности.

III. Изучение нового материала

1. Основные понятия

Из всех последовательностей наиболее изучены две: арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия, которые будут рассмотрены в этой главе. Сначала рассмотрим арифметическую прогрессию.

Последовательность чисел а_n, каждый член которой (начиная со второго) равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d (разностью прогрессии), называется арифметической прогрессией: При d > 0 арифметическая прогрессия возрастает, при d < 0 - убывает.

Пример 1

Найдем первые пять членов арифметической прогрессии, если а₁ = 5, d = 2.

Из определения арифметической прогрессии получаем: при n = 1 при n = 2 при n = 3 при n = 4

Итак, эти члены 5, 7, 9, 11, 13.

2. Формула n-го числа арифметической прогрессии

В определении арифметической прогрессии использована рекуррентная формула . Удобнее получить формулу n-го члена.

Пример 2

Получим формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Из определения арифметической прогрессии a_k+1 = a_k + d запишем (n - 1) равенство:

Сложим эти равенства, тогда в левой и правой частях сокращаются одинаковые члены:    а₂, а₃, ..., а_n-1, и получаем:

Таким образом, получена важнейшая формула - формула n-го члена арифметической прогрессии:

Как правило, задачи на эту тему достаточно простые. Наиболее распространенный прием решения таких задач - записать условия задачи, используя в качестве неизвестной первый член и разность прогрессии.

Пример 3

В арифметической прогрессии сумма второго и пятого членов равна 8, а третьего и седьмого равна 14. Найдем прогрессию.

Выразим все члены прогрессии через ее первый член и разность: - и запишем условия задачи: Для определения а₁ и d получаем линейную систему уравнений: Вычитая из второго уравнения первое, найдем: 6 = 3d или d = 2, и из любого из уравнений: а₁ = -1.

Пример 4

Первый член арифметической прогрессии а₁, a₂, a₃, ... равен единице. При каком значении разности прогрессии d величина S = а₁а₂ + а₂a₃ имеет минимальное значение?

Как и в предыдущей задаче выразим члены прогрессии а₂ и а₃ через первый член (а₁ = 1) и разность d: Тогда Функция S в зависимости от d является квадратичной функцией (параболой) и достигает минимального значения при

Пример 5

Найдем сумму чисел

Обратим внимание на то, что числа, стоящие под радикалами, образуют арифметическую прогрессию: 100, 101, 102, 103, ..., 399, 400. Умножим числители и знаменатели дробей на разность чисел, стоящих в знаменателях:

За счет того, что числа образовали арифметическую прогрессию, знаменатели дробей оказались равными разности прогрессии, т. е. 1. Тогда имеем: Легко заметить, что в данной сумме сокращаются все числа, кроме и тогда сумма

Достаточно часто арифметическая прогрессия встречается в текстовых и геометрических задачах.

Пример 6

Четыре целых различных числа образуют арифметическую прогрессию. Одно из этих чисел равно сумме квадратов остальных трех чисел. Найдем эти числа.

Пусть эти числа имеют вид: a; а + d; а + 2d, а + 3d (очевидно, что a и d - целые числа). Запишем условие задачи: а² + (а + d)²+ (а + 2d)²= а + 3d или 3а² + 6ad + 5d² = а + 3d. Будем рассматривать это уравнение как квадратное, считая а неизвестной и d параметром. Запишем уравнение в виде: 3а² + a(6d - 1) + (5d² - 3d) = 0. Чтобы это уравнение имело решение, необходима неотрицательность его дискриминанта D. Найдем Решим это квадратное неравенство. Корни соответствующего уравнения т. е. d₁ ≈ -0,04 и d₂ ≈ 1,04. Тогда решение неравенства -0,04 ≤ d ≤ 1,04. В этом промежутке есть два целых значения d = 1 и d - 0 (не подходит, так как даны различные числа).

Для d = 1 уравнение 3а² + a(6d - 1) + (5d² - 3d) = 0 принимает вид: 3а + 5а + 2 = 0. Корни его а₁ = -1, а₂ = -2/3 (не подходит). Итак, искомые числа -1; 0; 1; 2.

Пример 7

Стороны четырехугольника образуют арифметическую прогрессию. Можно ли в него вписать окружность?

Пусть стороны четырехугольника АВ, ВС, AD, CD в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и разностью d: АВ = a, ВС = a + d, AD = a + 2d, CD = a + 3d.

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны, т. е. АВ + CD = ВС + AD. Проверим это условие: а + (а + 3d) = (а + d) + (а + 2d). Так как равенство верное, то в такой четырехугольник можно вписать окружность. Но это возможно только в том случае, когда стороны четырехугольника образуют арифметическую прогрессию именно в следующем порядке: АВ, ВС, AD, CD.

Пример 8

Стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдем стороны треугольника.

Пусть наименьший катет ΔАВС АВ = а, тогда второй катет ВС = а + d и гипотенуза АС = а + 2d (где d - разность прогрессии, d > 0). Запишем теорему Пифагора: АС² = АВ² + ВС², или (а + 2d)²= а² + (а + d)², или а² - 2ad - 3d² = 0. Решая это однородное уравнение, получим: а = 3d и а = -d (не подходит). Имеем: АВ = 3d, ВС = 4d, АС = 5d (где d - любое число). То есть условию задачи удовлетворяют прямоугольные треугольники, подобные египетскому.

3. Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по формуле или

Пример 9

Получим формулы суммы первых п членов арифметической прогрессии.

Обозначим сумму первых n членов арифметической прогрессии (а_n) через S_n. Запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае члены в порядке возрастания их номеров, во втором случае - в порядке убывания номеров: Сложим эти равенства: Покажем, что все суммы в скобках равны друг другу. Получаем:

Тогда имеем: откуда (первая формула получена). Используем формулу n-го члена Тогда имеем: (вторая формула получена).

Пример 10

В арифметической прогрессии а₃ = 7 и а₈ = 27. Найдем сумму первых сорока членов прогрессии.

Сначала найдем первый член а₁ и разность d прогрессии. Запишем условия задачи: Из этой линейной системы уравнений находим а₁ = -1 и d = 4. Теперь найдем сумму первых сорока членов прогрессии:

Пример 11

Найдем сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 4 дают остаток 3.

Первое число легко угадать: а₁ = 103. Легко также угадать несколько последующих таких чисел: а₂ = 107, а₃ = 111, а₄ = 115. Видно, что искомые числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом 103 и разностью 4. Общий член этой прогрессии можно записать в виде а_n = 103 + 4(n - 1) = 99 + 4n.

Определим теперь число членов в сумме. Так как последнее трехзначное число 999, то получаем условие а_n ≤ 999 или 99 + 4n ≤ 999. Решив это неравенство, найдем n ≤ 225. Итак, в искомую сумму войдут 225 слагаемых. Найдем сумму 225 членов арифметической прогрессии с первым членом 103 и разностью 4:

Пример 12

Известно, что при любом n сумма S_n членов в некоторой последовательности (а_n) определяется по формуле: Докажем, что эта последовательность является арифметической прогрессией, и напишем первые три члена этой прогрессии.

Для доказательства используем определение арифметической прогрессии. Сначала получим формулу общего члена последовательности (а_n). Очевидно, что Отсюда Рассмотрим разность двух соседних членов последовательности: Отсюда получим: т. е. каждый член последовательности равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 8. Итак, данная последовательность по определению является арифметической прогрессией.

Так как в процессе доказательства была получена формула общего члена этой арифметической прогрессии а_n = 8n - 7, то легко находим: а₁ = 1, а₂ = 9, а₃ = 17.

Пример 13

Решим уравнение 2 + 5 + 8 + 11 + ... + х = 155.

В левой части уравнения находится сумма членов арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11; ..., первый член которой 2 и разность 3. Пусть в эту сумму входит n слагаемых. Тогда, используя формулу для суммы n первых членов арифметической прогрессии, получаем: Второе уравнение получим, записав последний член этой суммы: Подставив второе уравнение в первое, придем к квадратному уравнению относительно n: или 3n² + n - 310 = 0, корни которого n = 10 и (не подходит, так как n - число натуральное). После этого находим: х = 3 ∙ 10 - 1 = 29. Итак, х = 29 - единственный корень данного уравнения.

Пример 14

Два велосипедиста, расстояние между которыми 99 м, одновременно начинают движение навстречу друг другу. Первый велосипедист за каждую секунду проезжал по 5 м. Второй велосипедист за первую секунду проехал 1,5 м, а за каждую последующую - на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Через какое время велосипедисты встретились?

Пусть велосипедисты встретились через n секунд. Тогда первый из них проехал до встречи 5n (м). Для второго велосипедиста расстояния, проезжаемые в каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию: 1,5; 2; 2,5; 3; ... . Тогда за n секунд он проедет расстояние:

Сумма расстояний, пройденных велосипедистами, равна 99 м. Получаем уравнение: или n² + 25n - 396 = 0, корни которого n₁ = 11 и n₂ = -36 (не подходит). Итак, встреча произошла через 11 с.

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Отметим еще одно важное свойство членов арифметической прогрессии. Любой член прогрессии (начиная со второго) равен полусумме соседних членов: (характеристическое свойство).

Пример 15

Докажем характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Используя определение арифметической прогрессии, получим:

Достаточно часто при решении задач рассматриваемой темы используется характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Пример 16

При каких значениях х числа 6; х²; х образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию? Найдем эти числа.

Запишем свойство арифметической прогрессии: 2х² = 6 + х. Получаем квадратное уравнение, корни которого х = -3/2 и х = 2. Тогда искомыми числами будут или 6; 4; 2.

IV. Контрольные вопросы

1. Определение арифметической прогрессии.

2. Формула n-го члена арифметической прогрессии.

3. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии.

V. Задание на уроках

§ 16, № 4 (а, б); 6 (г); 8; 12 (в); 17 (б); 19 (а); 28 (а, б); 30; 33 (а); 36 (б); 42 (а); 43; 48 (б); 50 (а); 53 (б); 56 (г); 61; 68 (а); 69 (б).

VI. Задание на дом

§ 16, № 4 (в, г); 6 (в); 9; 12 (г); 17 (г); 19 (б); 28 (в, г); 31; 33 (б); 36 (в); 42 (б); 44; 48 (г); 50 (б); 53 (г); 56 (б); 62; 68 (б); 69 (а).

VII. Подведение итогов уроков