Итоги контрольной работы - Урок 3 - Числовые функции

Цели: сообщить результаты работы; рассмотреть типичные ошибки; разобрать трудные задачи.

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока

II. Итоги контрольной работы

III. Ответы и решения

Вариант 1

1. D(y) = [2; +∞), Е(у) = [4; +∞).

2. Убывает на (-∞; -1/3] возрастает на [-1/3; +∞).

3. у_наиб = 8 при х = -1.

4. График построен.

5. 4.

Вариант 2

1. D(y) = [2; +∞), Е(у) = [1; +∞).

2. Возрастает на (-∞; -2/5], убывает на [-2/5; +∞).

3. y_наиб = -5 при x = 1.

4. График построен.

5. -2.

Вариант 3

1. D(y) = [2; +∞), E(y) = [6; +∞).

2. Убывает на возрастает на

3. y_наиб = 9 при х = 3.

4. График построен.

5. 4.

Вариант 4

1. D(y) = [2; +∞), Е(у) = [-1; +∞).

2. Возрастает на убывает на

3. y_наиб = 5 при x = 2.

4. График построен.

5. 6.

Вариант 5

1. Область определения функции задается неравенством 3х - 6 ≥ 0, откуда х ≥ 2 и D(y) = [2; +∞). Функции и у₂ = 2х² + 4х - 5 на промежутке [2; +∞) возрастают. Найдем у(2) = 4 ∙ 0 + 2 ∙ 4 + 4 ∙ 2 - 5 = 11. Поэтому область значений данной функции Е(у) = [11; +∞).

Ответ: D(y) = [2; +∞), Е(у) = [11; +∞).

2. Раскроем знак модуля. При х < -3 функция имеет вид: у = -(х - 1)(х + 3). На промежутке (-∞; -3] такая функция возрастает. При х ≥ -3 функция имеет вид у = (х - 1)(х + 3). Эта функция имеет вершину в точке х₀ = -1. Поэтому на промежутке [-3; -1] функция убывает, а на луче [-1; +∞) - возрастает. Легко также построить график функции.

Ответ: возрастает на (-∞; -3]U[-1; +∞), убывает на [-3; -1].

3. В данной функции выделим целую часть и запишем ее в виде: Очевидно, что наибольшее значение функция у достигает, если второе слагаемое максимально, т. е. знаменатель дроби минимальный. Это имеет место при х = 1 и

Ответ: у_наиб = 5 при х = 1.

4а. Очевидно, что функция у = х² - 5|х| + 4 четная и ее график симметричен относительно оси ординат. При х ≥ 0 функция имеет вид: у = х² - 5х + 4. График пересекает ось ординат в точке у = 4, ось абсцисс - в точках x₁ = 1 и х₂ = 4. Вершина параболы имеет координаты (2,5; -2,25). Строим этот график при х ≥ 0 и симметрично отражаем его влево.

Ответ: график построен.

4б. Раскроем знак модуля и запишем функцию в виде При х < 2 строим гиперболу Она пересекает ось ординат в точке у = -3, имеет вертикальную асимптоту х = 1 и горизонтальную асимптоту у = -1. При х ≥ 2 и х ≠ 3 строим прямую у = 1.

Ответ: график построен.

5. Чтобы упростить выражение удобно ввести новую переменную тогда y² = х + 1 и х = у² - 1. Выражение имеет вид:

Ответ: 6.

Вариант 6

1. Область определения функции задается неравенством 2х - 4 ≥ 0, откуда х ≥ 2 и D(y) = [2; +∞). Функции и у₂ = 4х² - 8х + 5 на промежутке [2; +∞) возрастают. Найдем у(2) = 3 ∙ 0 + 4 ∙ 4 - 8 ∙ 2 + 5 = 5. Поэтому область значений данной функции Е(у) = [5; +∞).

Ответ: D(y) = [2; +∞), Е(у) = [5; +∞).

2. Раскроем знак модуля. При х < 1 функция имеет вид: у = -(х - 1)(х + 3). Эта функция имеет вершину в точке х₀ = -1. Поэтому на луче (-∞; -1] функция возрастает, а на отрезке [-1; 1] - убывает. При х ≥ 1 функция имеет вид у = (х - 1)(х + 3). На луче [1; +∞) такая функция возрастает. Легко также построить график функции.

Ответ: возрастает на (-∞; -1]U[1; +∞), убывает на [-1; 1].

3. В данной функции выделим целую часть и запишем ее в виде Очевидно, что наименьшее значение функция у достигает, если вычитаемое максимально, т. е. знаменатель дроби минимальный. Это имеет место при х = -1 и

Ответ: y_наим = 3 при х = 1.

4а. Очевидно, что функция у = х² - 4|х| + 3 четная и ее график симметричен относительно оси ординат. При х ≥ 0 функция имеет вид: у = х² - 4х + 3. График пересекает ось ординат в точке у = 3, ось абсцисс - в точках х₁ = 1 и х₂ = 3. Вершина параболы имеет координаты (2; -1). Строим этот график при х ≥ 0 и симметрично отражаем его влево.

Ответ: график построен.

4б. Раскроем знак модуля и запишем функцию в виде При х < 1 строим гиперболу Она пересекает ось ординат в точке у = 3, имеет вертикальную асимптоту х = -1 и горизонтальную асимптоту у = -1. При х ≥ 1 и х ≠ 3 строим прямую у = 1.

Ответ: график построен.

5. Чтобы упростить выражение удобно ввести новую переменную тогда у² = х - 3 и х = y² + 3. Выражение имеет вид:

Ответ: 2.