Методы решения систем уравнений - Системы уравнений

Цель: рассмотреть способы решения нелинейных систем уравнений с двумя переменными.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Графически решите систему уравнений

2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

Вариант 2

1. Графически решите систему уравнений

2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

III. Изучение нового материала

В 7 классе было рассмотрено решение систем линейных уравнений (т. е. уравнений первой степени) с двумя переменными. Теперь необходимо перейти к изучению систем нелинейных уравнений (т. е. уравнений степени два и выше). При их решении в основном используются три метода.

Основные методы решения систем уравнений

1. Метод подстановки

Этот метод уже применялся при решении систем линейных уравнений. Напомним алгоритм использования такого метода:

1) выразить из более простого уравнения одну переменную через другую;

2) подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной неизвестной;

3) решить полученное уравнение с одной переменной;

4) найти соответствующие значения второй неизвестной.

Пример 1

Решим систему уравнении

Второе уравнение системы является линейным (первой степени) и, соответственно, более простым. Выразим из него переменную у через переменную х: у = 2х - 3. Подставим это выражение в первое уравнение и получим уравнение с переменной x: или (после преобразований) 3х² - 8х + 4 = 0. Корни этого квадратного уравнения x₁ = 2 и х₂ = 2/3. Используя формулу у = 2х - 3, найдем соответствующие значения переменной у: и Итак, система имеет два решения: (2; 1) и

Во многих случаях оба уравнения системы являются нелинейными. Иногда способ подстановки пригоден и для таких систем.

Пример 2

Решим систему уравнений

Очевидно, что х ≠ 0. Из второго уравнения выразим переменную у через x: у = 3/x и подставим в первое. Получаем уравнение: (после преобразований) х⁴ + 17х² -18 = 0. Корни этого биквадратного уравнения x₁ = 1 и х₂ = -1. По формуле у = 3/x найдем соответствующие значения у: и Итак, система уравнений имеет два решения: (1; 3) и (-1; -3).

Способ подстановки полезен и при решении систем уравнений с параметрами.

Пример 3

При всех значениях параметра а определим число решений системы уравнений

Из второго уравнения выразим переменную у через х: у = а - х. Подставим это выражение в первое уравнение и получим: х² + (a - х)² =1 или 2х² - 2ах + а² - 1 = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения D = 4(2 - а²). Число решений уравнения (а следовательно, и системы уравнений) определяется знаком дискриминанта.

Если D > 0 или а ∈ (-√2; √2), система имеет два решения (пересечение прямой и окружности - случай а. Если D = 0 или a ∈ {-√2; √2}, система имеет одно решение (касание прямой и окружности - случай б. Если D < 0 или система не имеет решений (прямая не пересекает окружность - случай в.

2. Метод алгебраического сложения

Этот метод также использовался в 7 классе при решении систем линейных уравнений. Его можно использовать для того, чтобы или получить уравнение только с одной переменной, или найти более простую (желательно линейную) связь между переменными.

Пример 4

Решим систему уравнений

Сложим уравнения системы и получим уравнение для х: 8(х + 1)² = 32 или (х + 1)² = 4, откуда х + 1 = ±2 и х₁ = 1, х₂ = -3. Подставим выражение (х + 1)² = 4, например, в первое уравнение. Имеем: 12 – 2(у + 3)³ = 10, откуда (у + 3)³ = 1 или у + 3 = 1 и у = -2. Итак, система уравнений имеет два решения: (1; -2) и (-3; -2).

Пример 5

Решим систему уравнений

В уравнениях имеется только один член второй степени - член, пропорциональный ху. Поэтому от него надо избавиться. Для этого первое уравнение умножим на 3, второе - на (-2). Получим равносильную систему уравнений Сложим уравнения системы: или 8у - х = 6. Тем самым мы нашли линейную связь между переменными. Из равенства 8у - х = 6 выразим х = 8у - 6. Подставим это выражение, например, в первое уравнение исходной системы. Получаем уравнение с одной переменной: 2(8у + 6)у + 3(8у - 6) + 2у = 12 или 8у² + 7у - 15 = 0. Корни этого квадратного уравнения у₁ = 1 и у₂ = -15/8. Используя формулу х = 8у - 6, для каждого значения у найдем соответствующее значение х: x₁ = 8 ∙ 1 - 6 = 2 и Итак, система имеет два решения: (2; 1) и

3. Метод введения новых переменных

Для уравнений с одной переменной такой метод был использован в 8 классе. Он применяется, чтобы получить более простое уравнение. Метод введения новых переменных часто используется и для решения систем уравнений. Его можно применять как для одного уравнения системы, так и для всех уравнений. С помощью такого метода можно или найти связь между переменными, или получить более простую систему уравнений.

Пример 6

Решим систему уравнений

Характерна структура первого уравнения: в него входит выражение и обратное выражение Поэтому введем новую переменную и запишем первое уравнение в виде или 5t² – 9t + 4 = 0. Его корни t₁ = 1 и t₂ = 4/5. Вернемся к старым переменным. Получаем два случая: (тогда 2х - у = х + у и х = 2у) и (тогда 10х – 5y = 4х + 4у и х = 3/2у). Таким образом, с помощью новой переменной t нашли линейную связь между неизвестными х и у.

Далее используем второе уравнение исходной системы. Получаем две более простые системы уравнений:

а) Подставим первое уравнении во второе. Имеем: или -3у² = -33, откуда у² = 11 и у = ±√11. Находим соответствующие значения:

б) Подставим первое уравнение во второе. Имеем: или откуда у² = 4 и у = ±2. Находим соответствующие значения

Таким образом, данная система уравнений имеет четыре решения:

Пример 7

Решим систему уравнений

В эту систему уравнении входят только дроби Поэтому введем две новые переменные:

Тогда данная система уравнений становится более простой (линейной): Решим эту систему линейных уравнений, например, методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на (-2) и получим систему Сложим эти уравнения: 5a = 7, откуда а = 7/5. Подставим величину a = 7/5, например, в первое уравнение исходной системы: или 4b = 7, откуда b = 7/4.

Вернемся к старым переменным и получим систему уравнений Эта система является линейной. Опять используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, второе уравнение - на (-2). Имеем систему уравнений: Сложим эти уравнения: 29х = 87, откуда х = 3. Подставим значение x = 3 в первое уравнение: 15 ∙ 3 - 14у = 17 или -14у = -28, тогда у = 2.

Итак, данная система имеет единственное решение (3; 2).

IV. Контрольные вопросы

1. Как используется метод подстановки для решения систем уравнений?

2. Объясните метод алгебраическою сложения.

3. Метод введения новых переменных.

V. Задание на уроках

§ 6, № 1 (б); 3 (а); 5 (б); 7 (а, г); 8 (б); 9 (г); 10 (б); 13 (а); 14 (в); 15 (а); 16 (б); 20 (а); 21 (б); 22 (а); 23 (б); 24 (а).

VI. Задание на дом

§ 6, № 1 (г); 3 (б); 5 (г); 7 (б, в); 8 (г); 9 (б); 10 (г); 13 (б); 14 (г); 15 (б); 16 (г); 20 (б); 21 (в); 22 (б); 23 (а); 24 (б).

VII. Подведение итогов уроков