КОНУС - НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ

Цели деятельности учителя

Создать условия для ознакомления учащихся с понятием конуса, его элементами, для выведения формулы, выражающей объем конуса и формулы площади боковой поверхности конуса, для обучения решению задач; способствовать развитию логического мышления

Термины и понятия

Конус, ось конуса, образующая, боковая поверхность, высота конуса

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют объяснять, какое тело называется конусом, что такое его ось, высота, основания, боковая поверхность, образующая, развертка

Познавательные: умеют создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач; осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Коммуникативные: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные

ресурсы

• Модели конуса

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф/И)

1. Двое учащихся решают на доске задачи № 1214 (а) и № 1244, заданные на дом.

№ 1214 (а).

Дано: r = 2√2 см; h = 3 см.

Найти: V.

Ответ: 24π см³.

№ 1244.

Дано: d = 4 мм = 0,4 см; m = 6,8 кг; с = 2,6 г/см³.

Найти: h (длину провода).

отсюда

Ответ: ≈ 208 м.

2. С остальными учащимися проводится работа по ответам на вопросы 15-18 (с. 327)

II этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие конуса и его элементов

(Ф)

Учитель демонстрирует модели конуса, лейку в виде конуса; можно свернуть из бумаги кулек в виде конуса.

1. Возьмем прямоугольный треугольник АВС и будем вращать его вокруг катета АВ (рис. 362, с. 320). В результате получится тело, которое называется конусом.

Учитель показывает на доске изображение конуса, учащиеся рисуют конус в тетради.

2. Прямая АВ называется осью конуса, а отрезок АВ - его высотой. При вращении катета ВС образуется круг, он называется основанием конуса. При вращении гипотенузы АС образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим концом А (рис. 362). Ее называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из которых она составлена, - образующими конуса. Таким образом, конус - это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

3. Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать (см. задачу № 1219), что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

где r - радиус основания, h - его высота.

4. Вводится понятие развертки боковой поверхности конуса (рис. 363 а, б). Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть равен l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна 2πr.

5. Площадь S_бок боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, то есть где α - градусная мера дуги сектора (рис. 363 б).

Длина дуги окружности с градусной мерой π и радиусом l равна С другой стороны, длина дуги равна 2πr, то есть поэтому

Итак, площадь боковой поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выражается формулой

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения задач по изученной теме

(Ф/И) Организует деятельность учащихся.

1. Решить задачу № 1220 (б, в). (Учащиеся решают самостоятельно, потом выполняется проверка.)

2. Решить задачу № 1221 на доске и в тетрадях.

3. Решить задачу № 1222.

4. Решить задачу № 1248. (Учитель объясняет решение задачи.)

№ 1220.

б) Дано: r = 4 см; V = 48π см³.

Найти: h.

Решение:

отсюда

Ответ: 9 см.

в) Дано: h = m; V = ρ.

Найти: r.

найдем тогда

Ответ:

№ 1221.

S_осн = Q, S_бок = Р.

Найти: V.

3) По теореме Пифагора из ∆АВС найдем

Значит,

4) Найдем объем конуса:

Ответ:

№ 1222.

По условию S_{полн. конуса} = 45π дм²; α = 60°.

Найти: V.

Получили, что с другой стороны, S_6oк = πrl, тогда приравняем эти два равенства, получим

разделим обе части на πl, получим 1/6 = r, отсюда l = 6r.

По условию S_полн = 45π дм², значит, 45π = 7πr², отсюда r² = 45/7.

Из ∆АВС по теореме Пифагора найдем

Найдем объем конуса

Ответ:

№ 1248.

Решение:

В тетрадях учащиеся записывают следующую теорему: “Объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров”.

Дано: АО = h = 5 см; АО₁= h₁ = 2 см; плоскости сечения и основания параллельны; V₁ = 24 см.

Найти объем данного конуса V.

Решение:

∠OAB - общий угол; ∠ADO₁ = ∠ABO (соответственные углы), то ∆АОВ ~ ∠AO₁D (по двум углам), тогда

значит, k = 2/5.

Следовательно, отсюда

Ответ: 375 см³

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

- Какое геометрическое тело изучили на уроке?

- Назовите его элементы.

- Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: изучить материал пункта 130; ответить на вопросы 19-22 (с. 327-328); решить № 1220 (а), 1249, 1250; записать в тетрадь решение задачи № 1219 (с. 324)