Сравнение значений выражений - ВЫРАЖЕНИЯ - ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

Цель: сформировать представление о сравнении значений числовых и алгебраических выражений, о неравенствах.

Планируемые результаты: научиться сравнивать числа; иметь представление о числовых неравенствах.

Тип урока: урок-исследование.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Укажите допустимые значения переменных для выражения

Варианты ответа: а) х ≠ 3, у ≠ 2; б) х ≠ -3, у ≠ 2; в) х ≠ -3, у ≠ -2.

2. Напишите формулу числа, которое при делении на 6 дает остаток 4.

Варианты ответа: а) 6n - 4; б) 4n + 6; в) 6n + 4.

3. Число а при делении на 7 дает остаток 4. Найдите остаток от деления числа 5а на 7.

Варианты ответа: а) 4; б) 3; в) 6.

Вариант 2

1. Укажите допустимые значения переменных для выражения

Варианты ответа: а) х ≠ 5, у ≠ -3; б) х ≠ 5, у ≠ 3; в) х ≠ -5, у ≠ -3.

2. Напишите формулу числа, которое при делении на 8 дает остаток 5.

Варианты ответа: а) 8n - 5; б) 5n + 8; в) 8n + 5.

3. Число а при делении на 9 дает остаток 3. Найдите остаток от деления числа 4а на 9.

Варианты ответа: а) 5; б) 3; в) 6.

III. Работа по теме урока

План урока

1. Сравнение значений выражений.

2. Числовые неравенства.

1. Сравнение значений выражений

Пример 1

Сравним значения числовых выражений (3² - 4) : 5 и (2² + 6) : 8. Прежде всего, найдем эти значения: (3² - 4) : 5 = (9 - 4) : 5 = 5 : 5 = 1 и (2² + 6) : 8 = (4 + 6) : 8 = 10 : 8 = 1,25. Очевидно, что число 1,25 больше числа 1. Этот результат можно записать в виде неравенства 1,25 > 1 или (2² + 6) : 8 > (3² - 4) : 5.

Вывод: для любых двух числовых выражений можно установить, равны ли они или какое из них больше, т. е. сравнить их. Результат сравнения значений числовых выражений обычно записывают в виде равенства или неравенства.

При сравнении значений алгебраических выражений при разных значениях переменных результат может оказаться как различным, так и одинаковым.

Пример 2

Сравним значения алгебраических выражений 2 ∙ a – 3 и 6 - a при а = 1, 3, 5. Прежде всего, найдем эти значения.

При а = 1 получаем 2 ∙ a – 3 = -1 и 6 – a = 5. Тогда при а = 1 верно неравенство 2 ∙ a – 3 < 6 - а.

При а = 3 получаем 2 ∙ a – 3 = 3 и 6 - a = 3. Тогда при а = 3 верно равенство 2 ∙ a – 3 = 6 - а.

При а = 5 получаем 2 ∙ a – 3 = 7 и 6 – a = 1. Тогда при а = 5 верно неравенство 2 ∙ a – 3 > 6 - а.

Пример 3

При всех значениях переменной а верны сравнения:

а) (а - 2)² = а² - 4 ∙ а + 4;

б) а² + 5 > 4 ∙ а;

в) 4 ∙ а + 2 < а² + 7.

Пока доказать эти сравнения мы не можем, но можно их проверить, например при а = 0, 3, 5.

2. Числовые неравенства

Иногда необходимо установить, между какими числами (в каких пределах) заключено значение выражения.

Пример 4

При измерении отрезка обнаружили, что его длина больше 17 см и меньше 18 см. Обозначим длину отрезка (в сантиметрах) буквой l. Тогда результат измерения можно записать в виде неравенств l > 17 и l < 18 или 17 < l и l < 18. Эти неравенства можно объединить в виде двойного неравенства 17 < l < 18. Данное неравенство читают так: “l больше 17 и меньше 18”. Числа l, удовлетворяющие неравенству 17 < l < 18, можно изобразить на координатной прямой. Любое число l, расположенное на заштрихованном промежутке, удовлетворяет неравенству (границы промежутка не включаются).

Пример 5

Измерения длины отрезка показали, что она больше или равна (также говорят: “не меньше”) 21 см и меньше или равна (говорят: “не больше”) 22 см. Результат измерений можно записать в виде неравенств: l ≥ 21 и l ≤ 22 или 21 ≤ l и l ≤ 22. Эти неравенства можно объединить в виде двойного неравенства 21 ≤ l ≤ 22. Это неравенство читают так: “l больше или равно 21 и меньше или равно 22”.

Числа l, удовлетворяющие неравенству 21 ≤ l ≤ 22, можно изобразить на координатной прямой. Любое число l, расположенное на заштрихованном промежутке, удовлетворяет неравенству (границы промежутка включаются).

Неравенства, составленные с помощью знаков > и <, называют строгими неравенствами.

Неравенства, составленные с помощью знаков ≥ и ≤, называют нестрогими неравенствами.

Нестрогое неравенство является верным, если выполнено или строгое неравенство, или равенство.

Пример 6

Числовые неравенства 2,1 ≤ 2,1; 0,8 ≤ 3,2; 6,4 ≥ 6,4; 5,6 ≥ 2,8 являются верными.

IV. Задания на уроке

№ 47 (а, в), 48 (а, в), 49 (а), 51 (а), 52 (а), 55 (а, д), 56 (а, в, д), 57 (а, б), 58 (а, г), 62 (а, г), 63 (в).

V. Контрольные вопросы

— Как сравниваются числовые выражения?

— Всегда ли можно сказать, что одно числовое выражение больше другого или равно ему?

— Как можно сравнить алгебраические выражения?

— Может ли одно алгебраическое выражение быть больше другого или равно ему при всех значениях переменной? Приведите примеры.

VI. Творческие задания

Сравните выражения (не вычисляя их значений):

а) (первое выражение больше, так как каждое слагаемое в нем больше соответствующего слагаемого во втором выражении: и т. д.);

б) (второе выражение больше, так как каждое слагаемое в нем больше соответствующего слагаемого в первом выражении: и т. д.);

в) (первое выражение больше, так как каждое слагаемое в нем больше соответствующего слагаемого во втором выражении: при любых значениях переменной а);

г) (выражения равны, так как во второе выражение входит первое, а сумма чисел -1, -2 и +3 равна 0).

VII. Подведение итогов урока

Домашнее задание

№ 47 (б, г), 48 (б, г), 49 (б), 51 (б), 52 (б), 55 (б, в, е), 56 (б, г, е), 57 (в, г), 58 (б, в, е), 62 (б, в), 63 (г).