Линейное уравнение с двумя переменными - ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ - СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: ознакомить с понятием уравнения с двумя переменными, решением таких уравнений.

Планируемые результаты: рассмотреть линейное уравнение с двумя переменными.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Работа по теме урока

Пример 1

Пусть первое число (обозначим его х) больше квадрата второго числа (обозначим его у) на 3. По условию соотношение между числами можно описать равенством х - у² = 3. Это равенство с двумя переменными х и у, очевидно, выполняется не при всех значениях переменных. Используя подстановку, убеждаемся, что при х = 7 и у = 2 равенство х - у² = 3 выполняется. При х = 5 и у = 2 такое равенство не выполняется. Поэтому подобные равенства с двумя переменными называют уравнениями с двумя переменными (или двумя неизвестными). Пару чисел х = 1 и у = 2 называют решением уравнения.

Решение можно записать также в виде (7; 2), где первое число соответствует переменной х, второе число — переменной у. Сформулируем основные понятия.

Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными (или двумя неизвестными). В частности, если в уравнение входят неизвестные только первой степени, то такое уравнение называют линейным уравнением с двумя переменными. Линейное уравнение имеет вид ах + by = с (где х и у — переменные, а, b и с — некоторые числа). Например, линейными являются уравнения 3х - 4у = 7, 5х + 7у = 0 и т. д.

Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара значений переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решения, также считают равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

1. Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же (не равное нулю) число, то получится уравнение, равносильное данному.

Пример 2

а) Уравнения 3х² + 4у² = 5 и 3х² = 5 - 4у² равносильны, так как член 4у² перенесен (с изменением знака) из левой части в правую.

б) Уравнения и 3х² + 4у² = 5 равносильны, так как обе части первого уравнения умножили на число 12 (не равное нулю) и получили или или 3х² + 4у² = 5.

В 7 классе изучают только линейные уравнения, поэтому остановимся на них подробнее.

Пример 3

Рассмотрим уравнение 3х + 5у = 11. Используя свойства уравнений, выразим из него одну переменную через другую, например у через х. Для этого перенесем член 3х из левой части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 5у = -3х +11. Разделим обе части этого уравнения на число 5 (оно не равно нулю). Получаем уравнение, равносильное данному: Пользуясь этим равенством, для любого х можно вычислить соответствующее значение у. Например, если х = 2, то если х = 7, то

Пары чисел (2; 1), (7; -2) — решения данного уравнения. Таким образом, это уравнение имеет бесконечно много решений.

Из данного уравнения 3х + 5у = 11 можно выразить и переменную х через переменную у. Для этого перенесем член 5у из левой части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 3х = -5у +11. Разделим обе части этого уравнения на число 3 (оно не равно нулю). Получаем уравнение, равносильное данному: Пользуясь этим равенством, для любого у можно найти соответствующее значение х. Например, если у = 2, то и т. д. Пара чисел (1/3; 2) также является решением данного уравнения.

Заметим, что линейное уравнение всегда можно привести к виду ах + by = с, пользуясь равносильными преобразованиями.

Пример 4

Рассмотрим уравнение B это уравнение переменные х и у входят в первой степени, поэтому оно является линейным. Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 3 и 5 — число 15. Получаем равносильное уравнение или или 10х + 5 = 3у - 9. Изменив знак, перенесем член 3у в левую часть, а член 5 — в правую. Вновь получаем уравнение, равносильное данному: 10х - 3у = -5 - 9 или 10х - 3у = -14.

Достаточно часто при решении задач необходимо найти или все пары целых чисел, или все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению (в том числе и линейному) с двумя переменными. Тогда говорят, что надо решить уравнение в целых числах или решить уравнение в натуральных числах.

Заметим, что подобные задачи рассматриваются на протяжении двух тысяч лет (например, доказательство Великой теоремы Ферма ученые искали более трехсот лет, и только недавно она была доказана). Одним из первых такие задачи стал анализировать древнегреческий математик Диофант (живший предположительно в III в.). Поэтому уравнения, для которых требуется найти решения в целых и натуральных числах, называются диофантовы уравнения.

Пример 5

Мальчик купил ластики по 3 руб. и карандаши по 5 руб. Сколько ластиков и карандашей купил мальчик, если известно, что за всю покупку он заплатил 49 руб.?

Пусть мальчик купил х ластиков и у карандашей. Запишем стоимость покупки и получим линейное уравнение с двумя переменными: 3х + 5у = 49. Выразим из этого равенства, например, переменную у. Получаем .

Очевидно, что уравнение 3х + 5у = 49 имеет бесконечное множество решений, которые являются действительными числами. Для любого действительного числа х по формуле всегда можно найти единственное действительное число у.

Однако по смыслу задачи числа х и у должны быть натуральными. Будем в формулу последовательно подставлять натуральные числа х = 1, 2, 3, ... . Найдем, при каких натуральных значениях х число у также будет натуральным. Получим лишь три натуральных решения уравнения: 1) х = 3, у = 8; 2) х = 8, у = 5; 3) х = 13, у = 2. При всех остальных натуральных значениях х число у будет или дробным положительным числом, или отрицательным числом.

Рассмотрим более сложную задачу.

Пример 6

Целое число N при делении на число 7 дает остаток 4, а при делении на число 4 — остаток 3. Найдите остаток от деления числа N на 28.

Пусть при делении числа N на 1 частное равно целому числу х. Тогда п можно записать в виде N = 7х + 4. Если число N при делении на 4 дает частное у, то представим N в виде 4у + 3. Приравняем два полученных выражения для N и получим 7х + 4 = 4у + 3. Выразим переменную у: . Легко проверить, что при целом значении х = 1 число у = 2 также целое.

В выражении числа 7, 1, 4 не имеют общих делителей. Поэтому (кроме значения х = 1) решениями уравнения будут числа х = 1 + 4n (где n — целое число). Покажем, что тогда число у также будет целым. Получаем это целое число. Итак, все решения диофантова уравнения 7х + 4 = 4.у + 3 описываются формулами х = 4n + 1 и у = 7n + 2 (где n — целое число).

Найдем теперь число N: Эта запись означает, что при делении числа N на 28 получается частное n и остаток 11.

Разумеется, в курсе алгебры рассматриваются не только линейные диофантовы уравнения с двумя переменными.

Пример 7

Найдем целые решения уравнения ху - 2х + у - 5 = 0.

Запишем уравнение в виде ху -2х + у - 2 = 3 и разложим его левую часть на множители: (ху - 2х) + (у - 2) = 3, или х(у - 2) + (у - 2) = 3, или (х + 1)(у - 2) = 3.

По условию задачи числа х и у — целые. Тогда числа х + 1 и у - 2 также целые и являются делителями числа 3, т. е. ±1 и ±3. Рассмотрим четыре возможных случая:

Таким образом, данное уравнение имеет четыре целых решения: (0; 5), (2; 3), (-2; -1), (-4; 1).

III. Задания на уроке

№ 1025 (а, б), 1026, 1028, 1029 (а), 1030, 1033 (б), 1036, 1038, 1041.

IV. Контрольные вопросы

— Что называется уравнением с двумя переменными? Приведите примеры.

— Какое уравнение с двумя переменными называется линейным? Приведите примеры.

— Напишите общий вид линейного уравнения с двумя переменными.

— Что называется решением уравнения с двумя переменными?

— Какие уравнения с двумя переменными называются равносильными?

— Какие преобразования уравнений с двумя переменными приводят к равносильным уравнениям?

— Что такое диофантовы уравнения?

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

№ 1025 (в, г), 1027, 1029 (б), 1031, 1033 (а), 1037, 1039, 1042.