Разложение на множители суммы и разности кубов - РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ. СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Цель: рассмотреть формулы суммы и разности кубов.

Планируемые результаты: научиться раскладывать выражения на множители с помощью формул суммы и разности кубов.

Тип уроков: урок-исследование, урок-практикум.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Найдите значение выражения:

2. Разложите на множители многочлен:

3. Решите уравнение

Вариант 2

1. Найдите значение выражения:

2. Разложите на множители многочлен:

3. Решите уравнение

III. Работа по теме уроков

Приведем еще две формулы сокращенного умножения.

Это тождество называют формулой суммы кубов. Заметим, что выражение а² - ab + b² называют неполным квадратом разности а и b (отличается от полного квадрата разности (а - b)² = а² - 2ab+ b² тем, что вместо удвоенного произведения чисел а и b стоит просто их произведение).

В соответствии с формулой (1) сумма кубов двух чисел (выражений а и b) равна произведению суммы этих чисел (выражений а и b) и неполного квадрата их разности (а² - ab + b²).

Выведем формулу (1) алгебраическим способом, преобразовав правую часть в левую.

Умножим два многочлена и получаем

Заметим, что формулу (1) можно получить и геометрическим способом, рассмотрев объемы параллелепипедов.

Формула разности кубов имеет аналогичный вид:

Разность кубов двух чисел (выражений а и b) равна произведению разности этих чисел (выражений а и b) и неполного квадрата их суммы (а² + ab + b²).

Формулу (2) можно вывести аналогично формуле (1), умножив многочлены:

Формулу (2) можно получить непосредственно из формулы (1):

Пример 1

Докажем, что выражение 123³ + 27³ кратно 150.

Используя формулу (1), получим Видно, что данное выражение без остатка делится на 150.

Пример 2

Вычислим значение выражения без калькулятора.

Используя формулу (2) и формулу квадрата суммы, получаем

Пример 3

Разложим на множители двучлен 8m³ + n³.

Применим формулу (1) и получим

Пример 4

Разложим на множители двучлен 64а³ – 27b⁶.

Представим величины 64а³ и 27b⁶ в виде кубов величин 4а и 3b². Используя формулу разности кубов, получаем

Пример 5

Докажем, что при всех натуральных n значение выражения кратно 7.

Применим формулу (1) и получим

Видно, что данное выражение имеет множитель 7, поэтому оно кратно 7.

Пример 6

Упростим выражение

Используя формулы (2) и (1), получим

IV. Задания на уроках

№ 905 (а, г, д), 906 (г-е), 907 (в, г), 909 (а, д), 911 (в), 912 (д), 913 (а, б).

V. Контрольные вопросы

— Сформулируйте словами, чему равна сумма кубов, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу суммы кубов алгебраическим способом.

— Сформулируйте словами, чему равна разность кубов, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу разности кубов алгебраическим способом.

VI. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 905 (б, в, е), 906 (а-в), 907 (е), 909 (б, в), 911 (г), 912 (е), 913 (в, г).