Использование умножения одночлена на многочлен при преобразовании алгебраических выражений и решении уравнений - ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА И МНОГОЧЛЕНА - МНОГОЧЛЕНЫ

Цель: рассмотреть практическое применение операции умножения одночлена на многочлен.

Планируемые результаты: использовать умножение одночлена на многочлен для решения прикладных задач.

Тип уроков: уроки общеметодологической направленности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Выполните умножение:

2. Упростите выражение и вычислите его значение при х = -2.

3. Представьте выражение в виде многочлена и определите его степень.

Вариант 2

1. Выполните умножение:

2. Упростите выражение и вычислите его значение при х = -3.

3. Представьте выражение в виде многочлена и определите его степень.

III. Работа по теме уроков

Навыки умножения одночлена на многочлен используются при преобразовании выражений и решении уравнений.

Пример 1

Упростим выражение и вычислим его значение при а = 1, b = 2, с = 3.

Получаем

Было учтено переместительное свойство умножения: ba = ab, са = ас и cb = bс. Найдем значение выражения:

Пример 2

Докажем, что выражение принимает одно и то же значение при любых значениях переменных а и b.

Раскроем скобки и получим

Вновь было учтено переместительное свойство умножения: bа² = а²b.

Пример 3

На простейшем примере обоснуем геометрически правило умножения одночлена на многочлен, т. е. распределительный закон а(b + с) = ab + ас.

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами АВ = а и AD = b + с. Его площадь S_ABCD = АВ ∙ AD = а(b + с). Этот прямоугольник ABCD состоит из прямоугольников ABEF со сторонами АВ = а и AF = b и площадью S_ABEF = АВ ∙ AF = а ∙ b и FECD со сторонами EF = а и FD = с и площадью S_FECD = EF ∙ FD = а ∙ с. Очевидно, что S_ABCD = S_ABEF + S_FECD или a(b + с) = ab + ас.

Пример 4

Решим уравнение

Умножим одночлены на многочлены (т. е. раскроем скобки) и приведем подобные члены. Получаем 2х² + 6х - 2х² - 4х = 6 - х или 2х = 6 - х, откуда х = 2.

Пример 5

Решим уравнение

Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 9, т. е. НОК (12, 18, 9) = 36. Получаем

В левой части уравнения приведем подобные члены: -2х - 27 = 20х - 24 или -3 = 22х, откуда х = -3/22.

Пример 6

Решим уравнение

Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное чисел 4, 3, 12, т. е. на число 12. Получаем

Таким образом, получим тождество х = х. Это означает, что решением данного уравнения является любое число х.

Разумеется, к появлению уравнений и дальнейшему их решению приводят и текстовые задачи.

Пример 7

В первый день завод выпустил на 8 т продукции больше, чем во второй. В третий день завод выпустил в 1,5 раза продукции больше, чем в первые два дня. Всего за эти три дня было выпущено 220 т продукции. Сколько тонн продукции выпускалось каждый день?

По условиям задачи в таблице приведены данные о выпуске продукции в каждый день. В качестве неизвестного х взято количество продукции (в тоннах), выпущенной заводом во второй день. Данные в остальных столбцах таблицы следуют из условий задачи.

День	1	2	1 + 2	3
Выпуск продукции	х + 8	x	х + 8 + х	1,5(х + 8 + х)

Теперь, исходя из условий задачи, подсчитываем общий выпуск продукции за три дня, используя данные таблицы. Получаем уравнение х + 8 + х + 1,5(х + 8 + х) = 220, или 2х + 8 + 1,5(2х + 8) = 220, или 2х + 8 + 3х + 12 = 200, или 5х + 20 = 220, или 5х = 200, откуда х = 40 (т).

На основе данных таблицы легко подсчитать количество продукции, выпущенной в каждый день.

В первый день: х + 8 = 40 + 8 = 48 (т);

во второй день: х = 40 (т);

в третий день: 1,5(х + 8 + х) = 1,5(2х + 8) = 3х + 12 = 3 ∙ 40 + 12 = 132 (т).

(Ответ: было выпущено: в первый день - 48 т, во второй день - 40 т, в третий день - 132 т.)

IV. Задания на уроках

№ 630 (а, д), 631 (в), 632 (а, в), 633 (б, г), 635 (а), 637 (а, б), 639, 644, 646, 648.

V. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 630 (в, е), 631 (г), 632 (б, г), 633 (а, в), 635 (г), 637 (в, г), 640, 645, 647, 649.