Многочлен и его стандартный вид - СУММА И РАЗНОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ - МНОГОЧЛЕНЫ

Цель: ознакомить с понятием многочлена, его стандартным видом, понятием степени многочлена.

Планируемые результаты: научиться записывать многочлен в стандартном виде и определять степень многочлена.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Работа по теме урока

Многочленом называется алгебраическая сумма (т. е. сумма или разность) одночленов. Одночлены, входящие в многочлен, называются членами многочлена. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.

Пример 1

а) Выражения являются многочленами, так как являются алгебраическими суммами одночленов (члены первого многочлена: 3а² и -5аb³, члены второго: 7х², -5х²у, 3ху², -10y⁷ и 8).

б) Выражения не являются многочленами, так как состоят не только из одночленов (содержат операции деления).

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом; из трех членов — трехчленом.

Одночлены называются подобными, если они отличаются коэффициентами или ничем не отличаются друг от друга.

Пример 2

а) Одночлены -0,3ab²c³ и 2аb²с³ подобные, так как отличаются только коэффициентами (-0,3) и 2.

б) Одночлены -0,3аb²с³ и -0,3аb²с³ подобные, так как не отличаются друг от друга.

в) Одночлены -0,3аb²с³ и 2a²b²c³ не являются подобными, так как отличаются степенями переменной а: а и а².

В многочленах принято алгебраические суммы подобных одночленов заменять одним одночленом. Такая операция называется приведением подобных членов.

Пример 3

Упростим многочлен

В многочлене А есть две группы подобных одночленов: Кроме того, есть многочлен ас, который не имеет себе подобных в многочлене А. Сгруппируем указанные группы одночленов, т. е. запишем А в следующем виде:

Далее учтем, что

Поэтому многочлен имеет вид А = 8ab – 6bс + ас.

Полученный многочлен А имеет стандартный вид, так как каждый входящий в него одночлен записан в стандартном виде и приведены подобные члены.

Больше ничего для записи многочлена в стандартном виде не требуется. Порядок слагаемых уже неважен. Например, запись многочлена А = ас + 8ab – 6bс также считается его стандартным видом.

Таким образом, в отличие от одночлена многочлен может быть записан в стандартном виде не одним способом, а несколькими.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. В примере 3 все одночлены, входящие в многочлен А, имеют степень 2. Поэтому и данный многочлен имеет вторую степень. Для определения степени произвольного многочлена надо предварительно записать его в стандартном виде.

Пример 4

Запишем в стандартном виде многочлен

Прежде всего, запишем каждый из входящих в А одночленов в стандартном виде:

Сгруппируем подобные члены:

Приведем подобные члены: Полученная форма многочлена А есть его стандартный вид.

При другом расположении членов в многочлене А он также считается записанным в стандартном виде.

Например, или также стандартный вид этого многочлена.

В многочлене А степень одночлена 4ab²c равна четырем, степень одночлена 7а²bс — также четырем и степень одночлена 8abc равна трем. Поэтому наибольшая степень одночленов — четыре — и является степенью данного многочлена.

Если в многочлен входит только одна переменная, то его стандартным видом является такая форма записи, при которой одночлены располагаются в порядке убывания степеней переменной.

Пример 5

Запишем в стандартном виде многочлен

Прежде всего, каждый одночлен многочлена А запишем в стандартном виде:

Затем приведем подобные члены (они подчеркнуты):

И наконец, расположим члены в порядке убывания степеней х (начиная с наибольшей степени и кончая членом, который вообще не зависит от х). Тогда получим

Это и есть стандартный вид данного многочлена.

Отметим, что другое расположение слагаемых уже не является стандартным видом многочлена, например так как слагаемое 3х расположено ранее слагаемого -3х³.

Также напомним, что наивысшая степень одночлена, входящего в многочлен, считается степенью многочлена. В данном примере многочлен А имеет шестую степень.

Заметим, что одночлен можно рассматривать как многочлен, состоящий из одного члена.

III. Задания на уроке

№ 567 (а), 568 (а, б), 570, 572, 576 (б), 577 (а), 579 (а, г), 581.

IV. Контрольные вопросы

— Дайте определение многочлена. Приведите примеры многочленов:

а) с одной переменной;

б) с несколькими переменными.

— Как привести многочлен к стандартному виду?

— Как определить степень многочлена?

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

№ 567 (б), 568 (в, г), 571, 573, 576 (а), 578 (б), 579 (б, д).