Контрольная работа № 4 по теме Степень с натуральным показателем - ОДНОЧЛЕНЫ - СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.

Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Общая характеристика контрольной работы

Контрольная работа составлена в шести вариантах (варианты 1,2 — самые простые, варианты 3, 4 — средней сложности, варианты 5, 6 — самые сложные). Степень сложности меняется не слишком резко, поэтому можно рекомендовать следующий критерий оценки: при выполнении вариантов 1, 2 оценка “3” ставится за любые три решенные задачи, оценка “4” — за четыре задачи и оценка “5” — за пять задач. Одна задача дает учащимся некоторую свободу выбора. При тех же критериях оценки за решение задач вариантов 3, 4 к набранным баллам добавляются дополнительно 0,5 балла, за решение задач вариантов 5,6 — дополнительно 1 балл (т. е. оценка “5” выставляется уже за четыре задачи). Все задачи в варианте примерно равноценны. Возможно, несколько труднее для учеников задачи 5, 6.

Перед проведением контрольной работы учащихся целесообразно ознакомить с критериями оценки и разной сложностью вариантов. Выбор вариантов может быть осуществлен учителем или предоставлен ученикам (в этом случае предполагается наличие копировальной техники в школе и избыточное количество заданий). При наличии такой техники в классе на стенде (после контрольной) может быть вывешено решение всех задач шести вариантов.

Контрольная работа рассчитана на один урок.

III. Контрольная работа

Вариант 1

1. Дана функция у = х² + 2. Составьте таблицу значений функции в промежутке -2 ≤ х ≤ 2 с шагом 0,5 и постройте график функции.

2. Выполните действия:

3. Запишите в виде одночлена стандартного вида выражение:

4. Сравните числа 8¹⁶ и 2¹⁶ ∙ 4¹⁵.

5. Решите уравнение:

6. Докажите, что число 10⁵⁰ - 4 делится на 3.

Вариант 2

1. Дана функция у = 1 - х². Составьте таблицу значений функции в промежутке -2 ≤ х ≤ 2 с шагом 0,5 и постройте график функции.

2. Выполните действия:

3. Запишите в виде одночлена стандартного вида выражение:

4. Сравните числа 10¹⁴ и 2¹⁵ ∙ 5¹⁴.

5. Решите уравнение:

6. Докажите, что число 10⁴⁰ - 7 делится на 3.

Вариант 3

1. Дана функция у = х² - 2х. Составьте таблицу значений функции в промежутке -1 ≤ х ≤ 3 с шагом 0,5 и постройте график функции.

2. Выполните действия:

3. Запишите в виде одночлена стандартного вида выражение:

4. Сравните числа 2³⁰ и 3²⁰.

5. Решите уравнение:

6. Докажите, что число 196³⁷⁴ + 391¹⁶⁴ - 2 делится на 5.

Вариант 4

1. Дана функция у = х² + 2х. Составьте таблицу значений функции в промежутке -3 ≤ х ≤ 1 с шагом 0,5 и постройте график функции.

2. Выполните действия:

3. Запишите в виде одночлена стандартного вида выражение:

4. Сравните числа 3⁴⁰ и 4³⁰.

5. Решите уравнение:

6. Докажите, что число 171⁵³⁶ + 375¹⁶⁴ + 4 делится на 5.

Вариант 5

1. Дана функция у = х² + 2|х|. Составьте таблицу значений функции в промежутке -3 ≤ х ≤ 3 с шагом 0,5 и постройте график функции.

2. Запишите в виде одночлена стандартного вида выражение:

3. Сравните числа 7⁸⁰ и 4¹²⁰.

4. Определите последнюю цифру числа (389)¹⁶² + (635)²³⁶.

5. Решите уравнение

6. Докажите, что число 10³¹⁶ + 6 не делится на число 10¹⁹ - 1.

Вариант 6

1. Дана функция у = 2|х| - х². Составьте таблицу значений функции в промежутке -3 ≤ х ≤ 3 с шагом 0,5 и постройте график функции.

2. Запишите в виде одночлена стандартного вида выражение:

3. Сравните числа 9⁶⁰ и 4⁹⁰.

4. Определите последнюю цифру числа (289)³⁶⁴ + (536)¹⁷¹.

5. Решите уравнение

6. Докажите, что число 10²⁷³ + 7 не делится на число 10¹⁹ - 1.

IV. Подведение итогов контрольной работы

1. Распределение работ по вариантам и результаты решения. Данные удобно заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).

№ задачи	Итоги
	+	±	-	Ø
1	5	1	1	1
2
...
6

Обозначения:

+ — число решивших задачу правильно или почти правильно;

± — число решивших задачу со значительными погрешностями;

- — число не решивших задачу;

Ø — число не решавших задачу.

Варианты 1, 2 — 8 учащихся.

2. Типичные ошибки при решении задач.

3. Задачи, вызвавшие наибольшие трудности.

V. Разбор задач (ответы и решения)

Вариант 1

6. Доказано.

Вариант 2

6. Доказано.

Вариант 3

6. Доказано.

Вариант 4

6. Доказано.

Вариант 5

1. Для функции у = х² - 2|х| составим таблицу значений функции в промежутке -3 ≤ х ≤ 3 с шагом 0,5.

x	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
y	3	1,25	0	-0,75	-1	-0,75	0	-0,75	-1	-0,75	0	1,25	3

Отметим точки из таблицы на координатной плоскости и построим график данной функции. Легко проверить, что функция является четной и ее график симметричен относительно оси ординат.

2. Используя правила действий со степенями, запишем одночлен в стандартном виде:

3. Запишем данные числа 7⁸⁰ и 4¹²⁰ в другом виде: 7⁸⁰ = (7²)⁴⁰ = 49⁴⁰ и 4¹²⁰ = (4³)⁴⁰ = 64⁴⁰. Так как 49 < 64, тo и 49⁴⁰ < 64⁴⁰, или 7⁸⁰ < 4¹²⁰.

(Ответ: 7⁸⁰ < 4¹²⁰.)

4. Запишем данное число в следующем виде: (389)¹⁶² + (635)²³⁶ = (389²)⁸¹ + (635)²³⁶. Число 389 оканчивается цифрой 9. При возведении в квадрат число 389² оканчивается цифрой 1. Если число оканчивается цифрой 1 или 5, то при возведении такого числа в любую степень оно также будет оканчиваться цифрой 1 или 5. Поэтому данное число оканчивается цифрой 1 + 5 = 6.

(Ответ: 6.)

5. Используя свойства степеней, преобразуем данное уравнение:

Найдем сумму чисел Тогда уравнение имеет вид

Так как равны степени с одинаковым основанием 2, то равны и показатели степеней: 3х + 5 = 50 или 3x = 45, откуда x = 15.

(Ответ: х = 15.)

6. Рассмотрим число 10³¹⁶ + 6. Число 10³¹⁶ состоит из одной единицы и 316 нулей. Тогда число 10³¹⁶ + 6 имеет вид 100...06. Сумма цифр этого числа равна 7, и по признаку делимости оно не делится на 9. Число 10¹⁹ состоит из одной единицы и 19 нулей. Поэтому число 10¹⁹ - 1 состоит из 19 девяток (т. е. 99...9) и делится на 9. Так как первое число 10³¹⁶ + 6 не имеет делителя 9, то оно не может без остатка делиться на второе число 10¹⁹ - 1.

(Ответ: доказано.)

Вариант 6

1. Для функции 2|х| - х² составим таблицу значений функции в промежутке -3 ≤ х ≤ 3 с шагом 0,5.

x	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
y	-3	1,25	0	0,75	1	0,75	0	0,75	1	0,75	0	-1,25	-3

Отметим эти точки на координатной плоскости и построим график данной функции. Эта функция является четной, и ее график симметричен относительно оси ординат.

2. Используя правила действий со степенями, запишем одночлен в стандартном виде:

3. Запишем данные числа 9⁶⁰ и 4⁹⁰ в другом виде: 9⁶⁰ = (9²)³⁰ = 81³⁰ и 4⁹⁰ = (4³)³⁰ = 64³⁰. Так как 81 > 64, то и 81³⁰ > 64³⁰, или 9⁶⁰ > 4⁹⁰.

(Ответ: 9⁶⁰ > 4⁹⁰.)

4. Запишем данное число в следующем виде: (289)³⁶⁴ + (536)¹⁷¹ = (289²)¹⁸² + (536)¹⁷¹. Число 289 оканчивается цифрой 9. При возведении в квадрат число 289² оканчивается цифрой 1. При возведении такого числа в любую степень оно будет также оканчиваться цифрой 1. Число 536 оканчивается цифрой 6. При возведении такого числа в любую степень оно будет также оканчиваться цифрой 6. Поэтому данное число оканчивается цифрой 1 + 6 = 7.

(Ответ: 7.)

5. Используя свойства степеней, преобразуем данное уравнение:

Найдем сумму чисел: Тогда уравнение имеет вид

Так как равны степени чисел с одинаковым основанием 3, то равны и показатели степеней: 4x + 4 = 68 или 4x = 64, откуда х = 16.

(Ответ: х = 16.)

6. Рассмотрим число 10²⁷³ + 7. Число 10²⁷³ состоит из одной единицы и 273 нулей. Тогда число 10²⁷³ + 7 состоит из одной единицы, 273 нулей и цифры 7, т. е. имеет вид 100...07. Сумма цифр этого числа равна 8, и по признаку делимости оно не делится на 9. Число 10¹⁹ состоит из одной единицы и 19 нулей. Поэтому число 10¹⁹ - 1 состоит из 19 девяток (т. е. 99...9). Очевидно, что такое число делится на 9, так как каждая цифра числа делится на 9. Следовательно, число 10²⁷³ + 7 не делится на число 10¹⁹ - 1 без остатка, так как не имеет делителя 9.

(Ответ: доказано.)

VI. Подведение итогов урока