Линейная функция и ее график - ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ - ФУНКЦИИ

Цель: рассмотреть линейную функцию и ее график, основные способы построения графика такой функции.

Планируемые результаты: научиться составлять таблицы значений линейных функций, строить их графики, представлять свойства функций.

Тип уроков: урок изучения нового материала, урок-практикум.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Как расположен в координатной плоскости график функции у = kх, если k > 0?

2. График функции у = kх проходит через точку А (2; -3). Найдите коэффициент пропорциональности к. Пройдет ли график этой функции через точку В (4; -5)?

3. Постройте в одной системе координат графики функций у = 2,5x и у = -1,5х.

Вариант 2

1. Как расположен в координатной плоскости график функции у = kх, если k < 0?

2. График функции у = kх проходит через точку А (-3; -4). Найдите коэффициент пропорциональности к. Пройдет ли график этой функции через точку В (-6; -1)?

3. Постройте в одной системе координат графики функций у = 1,5x и у = -2,5x.

III. Работа по теме уроков

План уроков

1. Линейная функция.

2. Построение графика линейной функции.

1. Линейная функция

Функция y = kx + b (где k и b — некоторые числа) называется линейной функцией. Обратите внимание на то, что в формулу у = kx + b независимая переменная х входит в степени не выше первой.

Пример 1

а) Функции у = 5х - 3, у = -2х + 5, у = 7х, у = -х являются линейными, так как в эти функции переменная х входит в первой степени. Причем для первой функции k = 5, b = -3, для второй — k = -2, b = 5, для третьей — k = 7, b = 0, для четвертой — k = -1, b = 0.

б) Функции у = -3, у = 0, у = 5 также являются линейными. Для всех функций k = 0. При этом для первой функции b = -3, для второй — b = 0, для третьей — b = 5.

в) Функции не являются линейными, так как в первую функцию переменная х входит во второй степени (х²), вторая и третья функции вообще не описываются формулой у = kх + b (хотя в эти функции аргумент х входит только в первой степени) и являются дробно-линейными.

г) Функция у = |х| не является линейной, так как зависит не от х, а от |х|. Однако если рассматривать только неотрицательные значения х, то это линейная функция у = х (k = 1,6 = 0); если только отрицательные значения х, то это также линейная функция у = -k (k = -1, b = 0). Значительное число задач приводит к возникновению линейных функций.

Пример 2

Первоначальное расстояние между машинами 30 км. Машины движутся по прямолинейному шоссе в противоположные стороны со скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Найдем расстояние между машинами через t ч.

Пусть сначала машины находились в точках A и В, расстояние между которыми АВ = 30 км. Через t ч одна машина окажется в точке С, пройдя расстояние АС = 40t км. Другая машина попадет в точку D, преодолев расстояние BD = 50t км. Через t ч расстояние между машинами s = CD = АС + АВ + BD = 40t + 30 + 50t = 90t + 30 км. Зависимость расстояния между машинами от времени имеет вид s = 90t + 30 (где t ≥ 0), т. е. является линейной функцией (k = 90, b = 30).

Пример 3

Масса тела ребенка в возрасте до 5 лет каждый год увеличивается на 3 кг. При рождении малыш весил 4 кг. Найдем массу тела ребенка у кг в возрасте х лет.

За х лет масса тела ребенка возрастет на 3х кг. Учтем первоначальную массу тела малыша, тогда через x лет он будет весить у = 4 + 3x кг. Зависимость массы тела ребенка у от его возраста xимеет вид у = 3х + 4 (где 0 ≤ х ≤ 5), т. е. является линейной функцией (k = 3, b = 4).

2. Построение графика линейной функции

Графиком линейной функции является прямая линия. Поэтому для построения графика достаточно найти любые две точки, принадлежащие графику, и провести через них прямую.

Пример 4

Построим график функции у = -3х + 6.

При х = 1 найдем у(1) = -3 + 6 = 3. Поэтому точка A (1; 3) принадлежит графику функции. Для х = 2 найдем у(2) = -3 ∙ 2 + 6 = 0. Точка В (2; 0) также принадлежит графику функции. На координатной плоскости построим эти точки А и В. С помощью линейки через точки А и В проведем прямую линию — график данной линейной функции.

В качестве точек, через которые проходит график функции, обычно удобно брать точки пересечения графика с осями координат.

Пример 5

Построим график функции у = 2х - 4, найдя точки пересечения его с осями координат.

Найдем точку пересечения графика функции с осью ординат. Как известно, для любой точки, расположенной на оси ординат, абсцисса равна нулю. Поэтому в зависимости у = 2х - 4 положим х = 0 и найдем у = 2 ∙ 0 - 4 = -4. Получаем точку пересечения А (0; -4), построим ее.

Теперь найдем точку пересечения графика с осью абсцисс. Любая точка на этой оси имеет ординату, равную нулю. Поэтому в зависимости у = 2х - 4 положим у = 0. Получаем линейное уравнение 0 = 2х - 4, откуда х = 2. Имеем точку пересечения В (2; 0), построим ее. Через точки А и В проводим прямую линию — график данной функции.

Из рассмотренного примера понятен смысл величины b зависимости у = kх + b. Это ордината точки, в которой график функции пересекает ось Оу. Действительно, если положим х = 0, то получим y = k ∙ 0 + b = b при всех значениях k. Это означает, что точка (0; b) принадлежит графику функции у = kх + b и является точкой пересечения графика с осью ординат.

Ранее было показано, что величина к определяет наклон графика функции у = kх + b. При k = 0 такая прямая параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней).

Пример 6

Построим график функции у = -3. При любом значении аргумента х значение функции равно одной и той же величине — у = -3.

Поэтому, например, точки А (-1; -3) и В (2; -3) принадлежат графику функции. Построим эти точки на координатной плоскости и проведем через них прямую линию. Получаем прямую, параллельную оси абсцисс.

Заметим, что прямая у = kх + b параллельна прямой у = kх.

IV. Задания на уроках

№ 313, 317, 319 (а, д), 322 (б, в), 323 (а).

V. Контрольные вопросы

— Какая функция является линейной? Приведите примеры.

— Что является графиком линейной функции? Как можно построить такой график?

— Как найти точки пересечения графика линейной функции с осями координат? Поясните на примере.

— Каков смысл величин k и b в формуле линейной функции?

— Какая прямая будет графиком линейной функции при k = 0?

VI. Творческие задания

1. График функции у = kх + 3 проходит через точку А. Найдите величину k, если:

а) А (2; 3);

б) A (-1;-2);

в) А (3; 4);

г) А (0; 3).

2. График функции у = -2х + b проходит через точку А. Найдите величину b, если:

а) А (2; 1);

б) А (1; -2);

в) A (2; 4).

3. График функции у = kх + b проходит через точки А и В. Найдите величины k и b, если:

а) А (0; 3) и В (2; 5);

б) A (0; 4) и В (3; 4);

в) А (0; 5) и В (2; -3).

4. Из приведенной зависимости выразите каждую переменную через все остальные:

VII. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 314, 316, 318, 319 (в, г), 320, 322 (а, г), 323 (б).