График функции - ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ - ФУНКЦИИ

Цель: сформировать представление о графическом и табличном способах задания функции, построении графика функции.

Планирумые результаты: научиться составлять таблицы значений функции и строить график функции.

Тип уроков: урок изучения нового материала, урок-практикум.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Приведите примеры функций, заданных:

а) одной формулой;

б) двумя формулами.

2. Функция задана формулой у = -3х + 2. Заполните пустые клетки таблицы.

x	-2		0,5		0
y		-4		1		0

3. Найдите область определения функции

Вариант 2

1. Приведите примеры функций, заданных:

а) одной формулой;

б) двумя формулами.

2. Функция задана формулой у = -2х + 3. Заполните пустые клетки таблицы.

x	-3		0,5		0
y		-1		4		0

3. Найдите область определения функции

III. Работа по теме уроков

План уроков

1. Прямоугольная система координат.

2. График функции.

3. Нахождение значения функции и значения аргумента.

1. Прямоугольная система координат

Перед тем как перейти к графическому и табличному способам задания функции, остановимся на прямоугольной системе координат и вспомним основные сведения. Две взаимно перпендикулярные числовые оси образуют систему координат. Прямые углы, образуемые осями координат, называют координатными углами (квадрантами) и нумеруют так, как показано на рисунке. Горизонтальная ось системы координат (ось Ох) называется осью абсцисс, вертикальная ось (ось Оу) — осью ординат.

Так же как на числовой оси может быть изображено любое число, так и любая пара чисел (х; у) (причем первое число обязательно х, второе — у) может быть изображена в прямоугольной системе координат.

Пример 1

Построим точку А (2; 3), т. е. точку А с координатами х = 2, y = 3.

Отложим на оси абсцисс (ось Ох) число 2 (точка В) и восстановим из точки В перпендикуляр к оси Ох. Отложим на оси ординат (ось Оу) число 3 (точка Q и восстановим из точки С перпендикуляр к оси Оу. Точка А пересечения этих двух перпендикуляров и будет искомой.

Также справедливо и обратное утверждение: любая точка, изображенная в системе координат, характеризуется парой чисел (координатами).

Пример 2

Найдем координаты точки А, изображенной на рисунке.

Из точки А опустим перпендикуляр на ось абсцисс и получим точку В, которой соответствует число х = -3.

Проведем из точки А перпендикуляр к оси ординат и получим точку С, которой соответствует число у = -4. Найденные значения х и у являются координатами точки А, т. е. точка А характеризуется парой чисел (-3; -4). Пишут: А (-3; -4).

2. График функции

В прямоугольной системе координат для изображения функциональной зависимости у(х) удобно пользоваться специальным рисунком — графиком функции.

Пример 3

Рассмотрим функцию у = х² - 2х, где -1 ≤ х ≤ 3. Составим таблицу значений этой функции с шагом 0,5.

x	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
y	3	1,25	0	-0,75	-1	-0,75	0	1,25	3

Построим точки, заданные этими парами чисел (х; у), в системе координат (рис. а).

Если при составлении таблицы шаг выбрать еще меньше, то получим больше пар значений (х; у). Каждой из этих пар также соответствует некоторая точка координатной плоскости. Все такие точки образуют график функции у = х² - 2х на промежутке -1 ≤ х ≤ 3 (рис. б). На рисунке видно, что область определения данной функции — промежуток -1 ≤ x ≤ 3, область значений — промежуток -1 ≤ x ≤ 3.

Графиком функции y(x) называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной х, а ординаты — соответствующим значениям зависимой переменной у.

В силу такого определения все точки (х₀; у₀), которые удовлетворяют функциональной зависимости y(jc), расположены на графике функции. Любые другие точки, т. е. координаты которых не удовлетворяют зависимости у(х), не лежат на графике функции.

Пример 4

Дана функция у = х² + 2х - 1. Принадлежит ли графику этой функции точка с координатами: а) (-1; -4); б) (1; 3)?

а) Найдем значение у при x = -1 для данной функции: у(-1) = (-1)³ + 2(-1) - 1 = -1 - 2 - 1 = -4.

Так как у(-1) = -4, то точка (-1; -4) с такой же ординатой принадлежит графику функции.

б) Найдем значение у при x = 1 для данной функции: у(1) = 1³ + 2 ∙ 1 - 1 = 1 + 2 - 1 = 2.

Так как у(1) = 2, то точка (1; 3) с другой ординатой не принадлежит графику функции.

График дает наглядное представление о поведении функции: возрастании и убывании, нулях функции, областях определения и значений и т. д. Также с помощью графика функции по значению аргумента легко найти соответствующее значение функции. Легко решается и обратная задача — по данному значению функции найти те значения аргумента, которым оно соответствует.

3. Нахождение значения функции и значения аргумента

Пример 5

По графику функции, изображенному на рисунке, найдем:

а) значение функции при х = 1;

б) значение аргумента, при котором значение функции у = 5.

а) На оси абсцисс отложим точку А, для которой х = 1. Из точки А восстановим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с графиком функции в точке В. Из точки В проведем перпендикуляр к оси ординат до пересечения с ней в точке С. Ордината точки С равна у = 2. Следовательно, при х = 1 значение данной функции у = 2.

б) На оси ординат отложим точку D, для которой у = 5. Из точки D проведем перпендикуляр к оси ординат до пересечения с графиком функции в точке Е. Из точки Е опустим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с ней в точке F. Абсцисса точки F равна х = 5. Значит, данная функция принимает значение у = 5 при значении аргумента х = 5.

IV. Задания на уроках

№ 283, 285, 287, 289, 293.

V. Контрольные вопросы

— На примере объясните, как построить точку на координатной плоскости.

— Объясните, как найти координаты точки, построенной на координатной плоскости.

— Что называется графиком функции?

— Как определить, принадлежит ли точка А (а; b) графику функции у(х) или нет?

— На примере поясните, как найти значение функции по данному значению аргумента, используя график функции. Как решить обратную задачу — найти аргумент по известному значению функции?

VI. Творческие задания

1. На каком рисунке изображен график функции?

Примечание: пустой кружок означает отсутствие точки, заполненный кружок — наличие.

(Ответы: а—г — графики функций, д, е — нет, так как для д при х = 0 есть два значения у, для е на промежутке а ≤ х ≤ b есть два значения y.)

2. По графику функции найдите ее области определения и значений.

(Ответы:

а) область определения: -2 ≤ х ≤ 3, область значений: -3 ≤ у ≤ 2;

б) область определения: -3 ≤ x < -2, -2 < x < -1, -1 < х ≤ 2, область значений: -3 ≤ у < -1, -1 < у < 1, 1 < у ≤ 2;

в) область определения: -3 < х ≤ 4, область значений: числа y = 0, 1, 2.)

VII. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 284, 286, 288, 291, 292.