Медиана как статистическая характеристика - СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ - ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

Цель: рассмотреть понятие медианы ряда чисел.

Планируемые результаты: научиться находить медиану ряда чисел.

Тип уроков: уроки-исследования.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Что такое среднее арифметическое ряда чисел?

2. Может ли ряд чисел иметь две моды?

3. Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел: 16, 14, 11, 15, 14, 17.

Вариант 2

1. Что такое мода ряда чисел?

2. Может ли среднее арифметическое ряда чисел не совпадать с одним из этих чисел?

3. Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел: 12, 15, 11, 16, 11, 19.

III. Работа по теме уроков

Рассмотрим еще одну статистическую характеристику ряда чисел — медиану. Обсуждение начнем с такого примера.

Пример 1

В ведомости приведены зарплаты (в тысячах рублей) 11 сотрудников фирмы: 14, 12, 16, 18, 14, 216, 15, 17, 20, 24, 19.

Найдем среднее арифметическое этого ряда чисел: 385/11 = 35. Разумеется, эта величина плохо характеризует средний доход сотрудников фирмы (так как все сотрудники, кроме директора, получают значительно меньше). Мода такого ряда чисел, равная 14, также плохо характеризует доходы сотрудников фирмы. Поэтому приходится вводить новый статистический показатель данного ряда чисел — медиану.

Упорядочим этот ряд чисел (например, в порядке возрастания чисел): 12, 14, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 216. В середине ряда (на шестом месте) находится число 17, которое разумнее характеризует среднюю зарплату сотрудников фирмы. Такое число называют медианой ряда чисел. При этом, по сути дела, не учитываются резко отличающиеся от остальных числа.

Теперь обсудим понятие медианы ряда чисел в случае их четного количества.

Пример 2

Рассмотрим ряд, состоящий из 10 чисел: 14, 12, 16, 18, 14, 15, 17, 20, 24, 19.

Как и в предыдущем примере, упорядочим этот ряд: 12, 14, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24. На ближайших к середине ряда местах стоят: на пятом месте — число 16, на шестом месте — число 17. Тогда разумно считать, что полусумма этих чисел является медианой данного ряда чисел.

Итак, для нахождения медианы ряда чисел надо упорядочить данный ряд чисел.

1. В ряду с нечетным числом членов медианой считается число, записанное посередине (стоящее в середине ряда).

2. В ряду с четным числом членов медианой считается число, равное полусумме чисел, записанных посередине.

Заметим, что медиана разбивает ряд чисел на две одинаковые по численности группы: числа, не большие медианы, и числа, не меньшие медианы.

В заключение отметим сложность статистической обработки данных в реальной жизни. Например, в качестве средней характеристики зарплаты в Москве можно принять любую из величин: среднее арифметическое, моду, медиану. Но, как видно из примера I, эти характеристики могут существенно различаться: среднее арифметическое равно 35, мода равна 14, и медиана равна 17. Какая из характеристик точнее отражает средний уровень зарплаты в Москве, остается вопросом.

IV. Задания на уроках

№ 186 (а, в), 188 (б, в), 189, 191.

V. Контрольные вопросы

— Дайте определение медианы ряда чисел.

— Может ли медиана ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда?

— Какое число считают медианой упорядоченного ряда, содержащего нечетное количество чисел? четное количество чисел?

VI. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 186 (б, г), 188 (а, г), 190, 192, 193.